Pertanyaan

Tentukanlah himpunan penyelesaian daripersamaan berikut ini, untuk − 2 π ≤ x ≤ 2 π . 2 3 cos 2 x + 4 sin x cos x = 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk $- 2 π \leq x \leq 2 π$ .

$23 cos 2 x + 4 sin x cos x = 2$ $\;\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

M. Claudia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Nusa Cendana Kupang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat, Bentuk khusus trigonometri Pengubahan a cos x + b sin x ke bentuk R cos ( x − α ) dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Sinus sudut rangkap sin 2 x = 2 sin x cos x Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut 2 3 cos 2 x + 4 sin x cos x 2 3 cos 2 x + 2 ( 2 sin x cos x ) 2 3 cos 2 x + 2 sin 2 x = = = 2 2 2 Diketahui a = 2 3 , b = 2 titik ( 2 3 , 2 ) di kuadran I R = a 2 + b 2 = ( 2 3 ) 2 + 2 2 = 12 + 4 = 16 = 4 α = tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 2 3 2 ) = tan − 1 ( 3 1 3 ) = 6 π ( karena kuadran I ) ►Pengubahan bentuk 2 3 cos 2 x + 2 sin 2 x menjadi R cos ( 2 x − α ) 2 3 cos 2 x + 2 sin 2 x = 4 cos ( 2 x − 6 π ) ►Penyelesaian persamaan 2 3 cos 2 x + 2 sin 2 x 4 cos ( 2 x − 6 π ) cos ( 2 x − 6 π ) cos ( 2 x − 6 π ) = = = = 2 2 2 1 cos 3 π ►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cos x = cos p cos x x 1 x 2 cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x 2 x x cos ( 2 x − 6 π ) 2 x − 6 π 2 x 2 x x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = cos p p + k ⋅ 2 π − p + k ⋅ 2 π cos 3 π 3 π + ( − 2 ) ⋅ 2 π 2 π − 4 π − 2 7 π − 4 7 π cos 3 π 3 π + ( − 1 ) ⋅ 2 π 2 π − 2 π − 2 3 π − 4 3 π cos 3 π 3 π + ( 0 ) ⋅ 2 π 2 π 4 π cos 3 π 3 π + ( 1 ) ⋅ 2 π 2 π + 2 π 2 5 π 4 5 π cos 3 π − 3 π + ( − 1 ) ⋅ 2 π − 6 π − 2 π − 6 13 π − 12 13 π cos 3 π − 3 π + ( 0 ) ⋅ 2 π − 6 π − 12 π cos 3 π − 3 π + ( 1 ) ⋅ 2 π − 6 π + 2 π 6 11 π 12 11 π cos 3 π − 3 π + ( 2 ) ⋅ 2 π − 6 π + 4 π 6 23 π 12 23 π Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga − 2 π ≤ x ≤ 2 π Dengan demikian,himpunan penyelesaian daripersamaan 2 3 cos 2 x + 4 sin x cos x = 2 , untuk − 2 π ≤ x ≤ 2 π adalah { − 4 7 π , − 12 13 π , − 4 3 π , − 12 π , 4 π , 12 11 π , 4 5 π , 12 23 π } .

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan $a cos x + b sin x$ ke bentuk $R cos (x - α)$

dengan $R = a^{2} + b^{2}$ dan $α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$

Sinus sudut rangkap

$sin 2 x = 2 sin x cos x$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

$23 cos 2 x + 4 sin x cos x 23 cos 2 x + 2 (2 sin x cos x) 23 cos 2 x + 2 sin 2 x = = = 222$

Diketahui $a = 23, b = 2$ titik $(23, 2)$ di kuadran I

$R = a^{2} + b^{2} = (23)^{2} + 2^{2} = 12 + 4 = 16 = 4$

$α = tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{2}{2 3}) = tan^{- 1} (\frac{1}{3} 3) = \frac{π}{6} (karena kuadran I)$

►Pengubahan bentuk $23 cos 2 x + 2 sin 2 x$ menjadi $R cos (2 x - α)$

$23 cos 2 x + 2 sin 2 x = 4 cos (2 x - \frac{π}{6})$

►Penyelesaian persamaan

$23 cos 2 x + 2 sin 2 x 4 cos (2 x - \frac{π}{6}) cos (2 x - \frac{π}{6}) cos (2 x - \frac{π}{6}) = = = = 22 \frac{1}{2} cos \frac{π}{3}$

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk $cos x = cos p$

$cos x x_{1} x_{2} cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x 2 x x cos (2 x - \frac{π}{6}) 2 x - \frac{π}{6} 2 x 2 x x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = cos p p + k \cdot 2 π - p + k \cdot 2 π cos \frac{π}{3} \frac{π}{3} + (- 2) \cdot 2 π \frac{π}{2} - 4 π - \frac{7 π}{2} - \frac{7 π}{4} cos \frac{π}{3} \frac{π}{3} + (- 1) \cdot 2 π \frac{π}{2} - 2 π - \frac{3 π}{2} - \frac{3 π}{4} cos \frac{π}{3} \frac{π}{3} + (0) \cdot 2 π \frac{π}{2} \frac{π}{4} cos \frac{π}{3} \frac{π}{3} + (1) \cdot 2 π \frac{π}{2} + 2 π \frac{5 π}{2} \frac{5 π}{4} cos \frac{π}{3} - \frac{π}{3} + (- 1) \cdot 2 π - \frac{π}{6} - 2 π - \frac{13 π}{6} - \frac{13 π}{12} cos \frac{π}{3} - \frac{π}{3} + (0) \cdot 2 π - \frac{π}{6} - \frac{π}{12} cos \frac{π}{3} - \frac{π}{3} + (1) \cdot 2 π - \frac{π}{6} + 2 π \frac{11 π}{6} \frac{11 π}{12} cos \frac{π}{3} - \frac{π}{3} + (2) \cdot 2 π - \frac{π}{6} + 4 π \frac{23 π}{6} \frac{23 π}{12}$

Keterangan: $k$ merupakan sembarang bilangan bulat sehingga $- 2 π \leq x \leq 2 π$

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan $23 cos 2 x + 4 sin x cos x = 2$ , untuk $- 2 π \leq x \leq 2 π$ adalah ${- \frac{7 π}{4}, - \frac{13 π}{12}, - \frac{3 π}{4}, - \frac{π}{12}, \frac{π}{4}, \frac{11 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{23 π}{12}}$ . $\;\;$