Pertanyaan

Tentukan turunan pertama dari fungsi - fungsi berikut. a. f ( x ) = cos ( x 2 − 3 x + 9 ) b. g ( x ) = 3 sec ( 5 x + 1 ) − tan ( 2 x + 7 ) c. h ( x ) = cotan ( x − 6 ) + sin ( x 2 − x + 1 )

Tentukan turunan pertama dari fungsi - fungsi berikut.

a. $f (x) = cos (x^{2} - 3 x + 9)$

b. $g (x) = 3 sec (5 x + 1) - tan (2 x + 7)$

c. $h (x) = cotan (x - 6) + sin (x^{2} - x + 1)$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas bagian (a) gunakan aturan rantai berikut ini: d x d y = d u d y ⋅ d x d u Pada soal diberikan , maka u d x d u y d u d y = = = = x 2 − 3 x + 9 2 x − 3 cos u − sin u Maka turunan dari f ( x ) adalah f ′ ( x ) = = = = = d x d y d u d y ⋅ d x d u − sin u ⋅ 2 x − 3 − ( 2 x − 3 ) sin u − 2 x + 3 sin ( x 2 − 3 x + 9 ) Untuk menjawab soal di atas bagian (b) gunakan konsep turunan berikut ini: g ( x ) = sec ( a x + b ) → g ′ ( x ) = a ⋅ sec ( a x + b ) ⋅ tan ( a x + b ) g ( x ) = tan ( a x + b ) → g ′ ( x ) = a ⋅ sec 2 ( a x + b ) Maka turunan dari fungsi g ( x ) yaitu: g ( x ) g ′ ( x ) = = = 3 sec ( 5 x + 1 ) − tan ( 2 x + 7 ) 3 ( 5 ⋅ sec ( 5 x + 1 ) tan ( 5 x + 1 ) ) − 2 ⋅ sec 2 ( 2 x + 7 ) 15 sec ( 5 x + 1 ) tan ( 5 x + 1 ) − 2 sec 2 ( 2 x + 7 ) Untuk menjawab soal di atas bagian (c) gunakan aturan rantai dan juga konsep turunan berikut ini: d x d y = d u d y ⋅ d x d u h ( x ) h ( x ) = = sin x → h ′ ( x ) = cos x cotan x → h ′ ( x ) = − cosec 2 x Pertama kita turunkan terlebih dahulu sin ( x 2 − x + 1 ) menggunakan aturan rantai di bawah ini: u d x d u y d u d y d x d y = = = = = = = x 2 − x + 1 2 x − 1 sin u cos u d u d y ⋅ d x d u cos u ⋅ 2 x − 1 ( 2 x − 1 ) cos ( x 2 − x + 1 ) Maka turunan dari fungsi h ( x ) adalah: h ( x ) h ′ ( x ) = = co tan ( x − 6 ) + sin ( x 2 − x + 1 ) − cosec 2 ( x − 6 ) + ( 2 x − 1 ) cos ( x 2 − x + 1 ) Dengan demikian, turunan dari fungsi - fungsi di atas adalah turunannya adalah f ′ ( x ) = − 2 x + 3 sin ( x 2 − 3 x + 9 ) g ( x ) = 3 sec ( 5 x + 1 ) − tan ( 2 x + 7 ) turunannya adalah g ′ ( x ) = 15 sec ( 5 x + 1 ) tan ( 5 x + 1 ) − 2 sec 2 ( 2 x + 7 ) h ( x ) = co tan ( x − 6 ) + sin ( x 2 − x + 1 ) turunannya adalah h ′ ( x ) = − cosec 2 ( x − 6 ) + ( 2 x − 1 ) cos ( x 2 − x + 1 )

Untuk menjawab soal di atas bagian (a) gunakan aturan rantai berikut ini:

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Pada soal diberikan f left parenthesis x right parenthesis equals cos space open parentheses x squared minus 3 x plus 9 close parentheses , maka

$u \frac{d u}{d x} y \frac{d y}{d u} = = = = x^{2} - 3 x + 9 2 x - 3 cos u - sin u$

Maka turunan dari $f (x)$ adalah

$f^{'} (x) = = = = = \frac{d y}{d x} \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} - sin u \cdot 2 x - 3 - (2 x - 3) sin u - 2 x + 3 sin (x^{2} - 3 x + 9)$

Untuk menjawab soal di atas bagian (b) gunakan konsep turunan berikut ini:

$g (x) = sec (a x + b) \to g^{'} (x) = a \cdot sec (a x + b) \cdot tan (a x + b) g (x) = tan (a x + b) \to g^{'} (x) = a \cdot sec^{2} (a x + b)$

Maka turunan dari fungsi $g (x)$ yaitu:

$g (x) g^{'} (x) = = = 3 sec (5 x + 1) - tan (2 x + 7) 3 (5 \cdot sec (5 x + 1) tan (5 x + 1)) - 2 \cdot sec^{2} (2 x + 7) 15 sec (5 x + 1) tan (5 x + 1) - 2 sec^{2} (2 x + 7)$

Untuk menjawab soal di atas bagian (c) gunakan aturan rantai dan juga konsep turunan berikut ini:

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$h (x) h (x) = = sin x \to h^{'} (x) = cos x cotan x \to h^{'} (x) = - cosec^{2} x$

Pertama kita turunkan terlebih dahulu $sin (x^{2} - x + 1)$ menggunakan aturan rantai di bawah ini:

$u \frac{d u}{d x} y \frac{d y}{d u} \frac{d y}{d x} = = = = = = = x^{2} - x + 1 2 x - 1 sin u cos u \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} cos u \cdot 2 x - 1 (2 x - 1) cos (x^{2} - x + 1)$

Maka turunan dari fungsi $h (x)$ adalah:

$h (x) h^{'} (x) = = co tan (x - 6) + sin (x^{2} - x + 1) - cosec^{2} (x - 6) + (2 x - 1) cos (x^{2} - x + 1)$

Dengan demikian, turunan dari fungsi - fungsi di atas adalah

f left parenthesis x right parenthesis equals cos space open parentheses x squared minus 3 x plus 9 close parentheses turunannya adalah $f^{'} (x) = - 2 x + 3 sin (x^{2} - 3 x + 9)$