Pertanyaan

Tentukan suku ke- 10 dan suku ke- n dari setiap barisan berikut. b. − 2 ; 3 × ( − 2 ) + 1 ; 3 × ( 3 × ( − 2 ) + 1 ) + 1 ; …

Tentukan suku ke- $10$ dan suku ke- $n$ dari setiap barisan berikut.

b. $- 2; 3 \times (- 2) + 1; 3 \times (3 \times (- 2) + 1) + 1; \dots$

L. Sibuea

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Jawaban terverifikasi

Jawaban

suku ke- 10 adalah − 29.525 dan suku ke- n adalah U n = ( U 1 + 2 1 ) ( 3 n − 1 ) − 2 1 .

suku ke-

10

adalah

- 29.525

dan suku ke-

n

adalah

U_{n} = (U_{1} + \frac{1}{2}) (3^{n - 1}) - \frac{1}{2}

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah U 10 = − 29 . 525 dan U n = ( U 1 + 2 1 ) ( 3 n − 1 ) − 2 1 . Barisan bilangan − 2 ; 3 × ( − 2 ) + 1 ; 3 × ( 3 × ( − 2 ) + 1 ) + 1 ; … merupakan barisan aritmatika yang memenuhi persamaan beda hingga. Ingat! Misalkan U 1 , U 2 , U 3 , ... merupakan barisan aritmetika. Barisan aritmetika memenuhi persamaan beda hingga sebagai berikut. U n = U n − 1 + b Berdasarkan rumus persamaan beda hingga barisan aritmatika, maka dari barisan bilangan tersebut diperoleh U 1 = − 2 dan b = 1 . Nilai U 10 dapat ditentukan dengan cara berikut: Pertama menentukan nilai U 3 yang dapat dihitung dengan mengalikan persamaan U 2 dan 3 sebagai berikut. U 2 U 3 = = = = = 3 U 1 + 1 ( × 3 ) 3 U 2 + 1 3 × 3 × U 1 + 1 ( 3 ) + 1 9 × ( − 2 ) + 4 − 14 Jadi, diperoleh U 3 = − 17 , dengan cara yang sama untuk menghitung U 10 . U 2 U 3 U 9 U 10 = = = = 3 U 1 + 1 ( × 3 ) 3 U 2 + 1 ( × 3 ) ⋮ 3 U 8 + 1 ( × 3 ) 3 U 9 + 1 Seperti pada perhitungan U 3 , maka U 9 = 3 U 8 + 1 juga dikalikan dengan 3 agar saat dijumlahkan menghapus 3 U 9 . Dengan menjumlahkan 9 persamaan tersebut akan diperoleh: U 10 = 3 9 U 1 + 1 + 1 ( 3 ) + 1 ( 3 2 ) + ... + 1 ( 3 8 ) Persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan cara berikut: x 3 x 3 x − x 2 x x = = = = = 1 + 1 ( 3 ) + 1 ( 3 2 ) + ... + 1 ( 3 8 ) 1 ( 3 ) + 1 ( 3 2 ) + ... + 1 ( 3 8 ) + 1 ( 3 9 ) 1 ( 3 9 ) − 1 1 ( 3 9 ) − 1 2 1 ( 3 9 ) − 2 1 Oleh karena itu, suku ke − 10 dapat ditentukan dengan: U 10 = = = 3 9 U 1 + 2 1 ( 3 9 ) − 2 1 3 9 ( − 2 ) + 2 1 ( 3 9 ) − 2 1 − 29.525 Jadi, suku ke − n dapat ditentukan dengan: U n = = 3 n − 1 U 1 + 2 1 ( 3 n − 1 ) − 2 1 ( U 1 + 2 1 ) ( 3 n − 1 ) − 2 1 Dengan demikian,suku ke- 10 adalah − 29.525 dan suku ke- n adalah U n = ( U 1 + 2 1 ) ( 3 n − 1 ) − 2 1 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $U_{10} = - 29.525$ dan $U_{n} = (U_{1} + \frac{1}{2}) (3^{n - 1}) - \frac{1}{2}$ .

Barisan bilangan $- 2; 3 \times (- 2) + 1; 3 \times (3 \times (- 2) + 1) + 1; \dots$ merupakan barisan aritmatika yang memenuhi persamaan beda hingga.

Ingat!

Misalkan $U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...$ merupakan barisan aritmetika. Barisan aritmetika memenuhi persamaan beda hingga sebagai berikut.

$U_{n} = U_{n - 1} + b$

Berdasarkan rumus persamaan beda hingga barisan aritmatika, maka dari barisan bilangan tersebut diperoleh $U_{1} = - 2$ dan $b = 1$ . Nilai $U_{10}$ dapat ditentukan dengan cara berikut:

Pertama menentukan nilai $U_{3}$ yang dapat dihitung dengan mengalikan persamaan $U_{2}$ dan $3$ sebagai berikut.

$U_{2} U_{3} = = = = = 3 U_{1} + 1 (\times 3) 3 U_{2} + 1 3 \times 3 \times U_{1} + 1 (3) + 1 9 \times (- 2) + 4 - 14$

Jadi, diperoleh $U_{3} = - 17$ , dengan cara yang sama untuk menghitung $U_{10}$ .

$U_{2} U_{3} U_{9} U_{10} = = = = 3 U_{1} + 1 (\times 3) 3 U_{2} + 1 (\times 3) ⋮ 3 U_{8} + 1 (\times 3) 3 U_{9} + 1$

Seperti pada perhitungan $U_{3}$ , maka $U_{9} = 3 U_{8} + 1$ juga dikalikan dengan $3$ agar saat dijumlahkan menghapus $3 U_{9}$ . Dengan menjumlahkan $9$ persamaan tersebut akan diperoleh:

$U_{10} = 3^{9} U_{1} + 1 + 1 (3) + 1 (3^{2}) + ... + 1 (3^{8})$

Persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan cara berikut:

$x 3 x 3 x - x 2 x x = = = = = 1 + 1 (3) + 1 (3^{2}) + ... + 1 (3^{8}) 1 (3) + 1 (3^{2}) + ... + 1 (3^{8}) + 1 (3^{9}) 1 (3^{9}) - 1 1 (3^{9}) - 1 \frac{1}{2} (3^{9}) - \frac{1}{2}$