Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui: b. pusat pada garis x − y − 1 = 0 , melalui titik ( 0 , 0 ) , dan berjari-jari 5 .

Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui:

b. pusat pada garis $x - y - 1 = 0$ , melalui titik $(0, 0)$ , dan berjari-jari $5$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran dengan pusat pada garis x − y − 1 = 0 , melalui titik ( 0 , 0 ) , dan berjari-jari 5 adalah ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5 atau ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 5 .

persamaan lingkaran dengan pusat pada garis

x - y - 1 = 0

, melalui titik

(0, 0)

, dan berjari-jari

5

adalah

(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5 atau (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5 atau ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 5 . Ingat! Jika suatu lingkaran memiliki titik pusat ( 0 , 0 ) dan berjari-jari r maka persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = r 2 Jika suatu lingkaran memiliki pusat ( a , b ) dan berjari-jari r maka persamaan lingkarannya adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Untuk mencari persamaan lingkaran yang menyinggung suatu garis g : A x + B y + C = 0 maka persamaan garis tersebut di substitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 untuk mencari titik yang menyinggung garis dan lingkaransehingga mendapatkan persamaan lingkaran terbaru. Substitusi persamaan garis x − y − 1 = 0 ⇔ y = x − 1 ke dalam persamaan lingkaran berikut: x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + ( x − 1 ) 2 x 2 + x 2 − 2 x + 1 − 5 2 x 2 − 2 x − 4 x 2 − x − 2 ( x + 1 ) ( x − 2 ) x = = = = = = = = r 2 ( 5 ) 2 5 0 0 0 0 − 1 atau x = 2 Untuk x = − 1 , y = x − 1 = − 1 − 1 = − 2 , diperoleh titik ( − 1 , − 2 ) sehingga diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − ( − 1 )) 2 + ( y − ( − 2 )) 2 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = = = r 2 ( 5 ) 2 5 Untuk x = 2 , y = x − 1 = 2 − 1 = 1 , diperoleh titik ( 2 , 1 ) sehingga diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = = = r 2 ( 5 ) 2 5 Dengan demikian,persamaan lingkaran dengan pusat pada garis x − y − 1 = 0 , melalui titik ( 0 , 0 ) , dan berjari-jari 5 adalah ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5 atau ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = 5 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5 atau (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ .

Ingat!

Jika suatu lingkaran memiliki titik pusat $(0, 0)$ dan berjari-jari $r$ maka persamaan lingkarannya adalah

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Jika suatu lingkaran memiliki pusat $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ maka persamaan lingkarannya adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Untuk mencari persamaan lingkaran yang menyinggung suatu garis $g : A x + B y + C = 0$ maka persamaan garis tersebut di substitusikan ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ untuk mencari titik yang menyinggung garis dan lingkaran sehingga mendapatkan persamaan lingkaran terbaru.

Substitusi persamaan garis $x - y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = x - 1$ ke dalam persamaan lingkaran berikut:

$x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} x^{2} + (x - 1)^{2} x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 - 5 2 x^{2} - 2 x - 4 x^{2} - x - 2 (x + 1) (x - 2) x = = = = = = = = r^{2} (5)^{2} 50000 - 1 atau x = 2$

Untuk $x = - 1$ , $y = x - 1 = - 1 - 1 = - 2$ , diperoleh titik $(- 1, - 2)$ sehingga diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - (- 1))^{2} + (y - (- 2))^{2} (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = = = r^{2} (5)^{2} 5$

Untuk $x = 2$ , $y = x - 1 = 2 - 1 = 1$ , diperoleh titik $(2, 1)$ sehingga diperoleh persamaan lingkaran sebagai berikut:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = = = r^{2} (5)^{2} 5$

Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan pusat pada garis $x - y - 1 = 0$ , melalui titik $(0, 0)$ , dan berjari-jari $5$ adalah $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5 atau (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ .