Tentukan persamaan fungsi f, jika fungsi y=f(x) terdefinisi untuk x>0 melalui titik (4,0) dan gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan oleh persamaan f(x)=x​1​+x​.

Karena y melelui , maka

Sehingga persamaan fungsinya   

Jadi jawaban yang benar   

 

Diketahui bahwa  maka diperoleh perhitungan sebagai berikut.

Diketahui pula garis singgung kurva pada titik  sejajar dengan garis

Kita tentukan terlebih dahulu gradien dari garis  

Ingat bahwa gradien garis  adalah  maka gradien garis  adalah $$m=-\frac{1}{1}=-1$$.

Karena garis singgung kurva pada titik  sejajar dengan garis  maka gradien garis singgung tersebut adalah . 

Perhatikan berhitungan berikut!

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }\left(x\right)& =& x^2-3x+C_1\\ f^{\prime }\left(1\right)& =& {\left(1\right)}^2-3\cdot \left(1\right)+C_1\\ -1& =& 1-3+C_1\\ -1& =& -2+C_1\\ 1& =& C_1\end{array}$$ 

Jadi, kita dapatkan   

Kemudian, untuk memperoleh persamaan kurva, kita integralkan fungsi turunan pertama yang telah didapat.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \int f^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x\\ & =& \int (x^2-3x+1)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+x+C_2\end{array}$$ 

Karena kurva melalui titik  maka diperoleh perhitungan sebagai berikut.

    

Dengan demikian, persamaan kurva tersebut adalah  

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Turunan kedua dari  adalah . Maka:

Garis singgung  di titik  mempunyai gradien , sehingga:

Diperoleh turunan pertamanya adalah .

Untuk mencari , maka turunan pertama di integralkan, diperoleh:

Jika grafik  melalui titik , berarti . Oleh karena itu:

 

Jadi, 

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

“Gradien garis singgung fungsi  di setiap titik P(x, y) sama dengan dua kali absis titik P itu”

Arti kalimat tersebut :

Grafik fungsi itu melalui titik (0, 1), berarti :

garis singgung y = f(x) di titik A(1,6) mempunyai gradien 4, berarti

Grafik y = f(x) melalui titik A(1,6), berarti f(1) = 6