Pertanyaan

Tentukan nilai limit berikut, jika ada. Jika nilai limitnya tidak ada, tuliskan alasannya. a. x → 1 lim x − 1 ∣ x − 1 ∣

Tentukan nilai limit berikut, jika ada. Jika nilai limitnya tidak ada, tuliskan alasannya.

a. $x \to 1 lim \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari lim x → 1 x − 1 ∣ x − 1 ∣ adalahtidak ada karena lim x → 1 − x − 1 ∣ x − 1 ∣  = lim x → 1 + x − 1 ∣ x − 1 ∣ atau limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

nilai dari

lim_{x \to 1} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}

adalah tidak ada karena

lim_{x \to 1^{-}} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1} \neq = lim_{x \to 1^{+}} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}

atau limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyan tersebut adalah tidak ada nilai limit pada x → 1 lim x − 1 ∣ x − 1 ∣ , karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan. Ingat! Misalkan x bilangan riil, nilai mutlak dari suatu bilangan x ditulis dengan ∣ x ∣ dan didefenisikan sebagai berikut: ∣ x ∣ = { x , jika x ≥ 0 − x , jika x < 0 Hubungan antara limit dengan limit sepihak (kiri/kanan) x → c lim f ( x ) = L ⇔ x → c − lim f ( x ) = x → c + lim f ( x ) = L Jika x → c − lim f ( x )  = x → c + lim f ( x ) = L maka x → c lim f ( x ) = L tidak ada. Dengan menggunakan defenisi nilai mutlak maka ∣ x − 1 ∣ = { x − 1 , untuk x ≥ 1 − ( x − 1 ) , untuk x < 1 Jadi, Limit mendekati 0 dari kiri: lim x → 1 − x − 1 ∣ x − 1 ∣ = = = lim x → 1 − x − 1 − ( x − 1 ) lim x → 1 − − 1 − 1 Limit mendekati 0 dari kanan: lim x → 1 + x − 1 ∣ x − 1 ∣ = = = lim x → 1 + x − 1 x − 1 lim x → 1 + 1 1 Dengan demikian, nilai dari lim x → 1 x − 1 ∣ x − 1 ∣ adalahtidak ada karena lim x → 1 − x − 1 ∣ x − 1 ∣  = lim x → 1 + x − 1 ∣ x − 1 ∣ atau limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Jawaban yang benar untuk pertanyan tersebut adalah tidak ada nilai limit pada $x \to 1 lim \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}$ , karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Ingat!

Misalkan $x$ bilangan riil, nilai mutlak dari suatu bilangan $x$ ditulis dengan $∣ x ∣$ dan didefenisikan sebagai berikut:

$∣ x ∣ = {x, jika x \geq 0 - x, jika x < 0$

Hubungan antara limit dengan limit sepihak (kiri/kanan)

$x \to c lim f (x) = L \Leftrightarrow x \to c^{-} lim f (x) = x \to c^{+} lim f (x) = L$

Jika $x \to c^{-} lim f (x) \neq = x \to c^{+} lim f (x) = L$ maka $x \to c lim f (x) = L$ tidak ada.

Dengan menggunakan defenisi nilai mutlak maka

$∣ x - 1 ∣ = {x - 1, untuk x \geq 1 - (x - 1), untuk x < 1$

Jadi,

Limit mendekati $0$ dari kiri:

$lim_{x \to 1^{-}} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1} = = = lim_{x \to 1^{-}} \frac{- ( x - 1 )}{x - 1} lim_{x \to 1^{-}} - 1 - 1$

Limit mendekati $0$ dari kanan:

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1} = = = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{x - 1} lim_{x \to 1^{+}} 1 1$

Dengan demikian, nilai dari $lim_{x \to 1} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}$ adalah tidak ada karena $lim_{x \to 1^{-}} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1} \neq = lim_{x \to 1^{+}} \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}$ atau limit kiri tidak sama dengan limit kanan.