Pertanyaan

x → 2 lim ( x 2 + 2 x − 8 4 x − x − 2 2 )

$x \to 2 lim (\frac{4 x}{x ^{2} + 2 x - 8} - \frac{2}{x - 2})$

P. Anggrayni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai tidak ada.

nilai $begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow 2 of open parentheses fraction numerator 4 x over denominator x squared plus 2 x minus 8 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator x minus 2 end fraction close parentheses end style$ tidak ada.

Pembahasan

Perhatikan perhitungan berikut: lim x → 2 ( x 2 + 2 x − 8 4 x − x − 2 2 ) = lim x → 2 ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 4 x − x − 2 2 ) = lim x → 2 ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 4 x − ( x − 2 ) ( x + 4 ) 2 ( x + 4 ) ) = lim x → 2 ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 4 x − 2 ( x + 4 ) ) = lim x → 2 ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 4 x − 2 x − 8 ) = lim x → 2 ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 2 x − 8 ) Selanjutnya, kita akan mengevaluasi nilai limit kiri dan limit kanannya. Perhatikan perhitungan berikut: nilai limit kiri lim x → 2 − ( x 2 + 2 x − 8 4 x − x − 2 2 ) = lim x → 2 − ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 2 x − 8 ) = lim x → 2 − ( ( 2 x − 8 ) ( x − 2 ) ( x + 4 ) 1 ) = lim x → 2 − ( 2 x − 8 ) ⋅ lim x → 2 − ( x − 2 ) ( x + 4 ) 1 Saat x < 2 , nilai ( x − 2 ) ( x + 4 ) < 0 .Atau dengan kata lain, penyebutnya merupakan bilangan-bilangan negatif yang mendekati nol dari arah kiri dan mengakibatkan . Sehingga nilai limit kanan lim x → 2 + ( x 2 + 2 x − 8 4 x − x − 2 2 ) = lim x → 2 + ( ( x − 2 ) ( x + 4 ) 2 x − 8 ) = lim x → 2 + ( ( 2 x − 8 ) ( x − 2 ) ( x + 4 ) 1 ) = lim x → 2 + ( 2 x − 8 ) ⋅ lim x → 2 + ( x − 2 ) ( x + 4 ) 1 Saat x > 2 , nilai ( x − 2 ) ( x + 4 ) > 0 .Atau dengan kata lain, penyebutnya merupakan bilangan-bilangan positif yang mendekati nol dari arah kanandan mengakibatkan . Sehingga Karena x → 2 − lim ( x 2 + 2 x − 8 4 x − x − 2 2 )  = x → 2 + lim ( x 2 + 2 x − 8 4 x − x − 2 2 ) maka nilai limit fungsi tersebut tidak ada. Dengan demikian, nilai tidak ada.

Perhatikan perhitungan berikut:

$lim_{x \to 2} (\frac{4 x}{x ^{2} + 2 x - 8} - \frac{2}{x - 2}) = lim_{x \to 2} (\frac{4 x}{( x - 2 ) ( x + 4 )} - \frac{2}{x - 2}) = lim_{x \to 2} (\frac{4 x}{( x - 2 ) ( x + 4 )} - \frac{2 ( x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2} (\frac{4 x - 2 ( x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2} (\frac{4 x - 2 x - 8}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2} (\frac{2 x - 8}{( x - 2 ) ( x + 4 )})$

Selanjutnya, kita akan mengevaluasi nilai limit kiri dan limit kanannya.

Perhatikan perhitungan berikut:

nilai limit kiri

$lim_{x \to 2^{-}} (\frac{4 x}{x ^{2} + 2 x - 8} - \frac{2}{x - 2}) = lim_{x \to 2^{-}} (\frac{2 x - 8}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2^{-}} ((2 x - 8) \frac{1}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2^{-}} (2 x - 8) \cdot lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{( x - 2 ) ( x + 4 )}$

Saat $x < 2$ , nilai $(x - 2) (x + 4) < 0$ . Atau dengan kata lain, penyebutnya merupakan bilangan-bilangan negatif yang mendekati nol dari arah kiri dan mengakibatkan $limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 4 right parenthesis end fraction equals negative infinity$ . Sehingga

$limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of open parentheses fraction numerator 4 x over denominator x squared plus 2 x minus 8 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator x minus 2 end fraction close parentheses equals limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of open parentheses 2 x minus 8 close parentheses times limit as x rightwards arrow 2 to the power of minus of fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 4 right parenthesis end fraction equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative infinity close parentheses equals plus infinity$

nilai limit kanan

$lim_{x \to 2^{+}} (\frac{4 x}{x ^{2} + 2 x - 8} - \frac{2}{x - 2}) = lim_{x \to 2^{+}} (\frac{2 x - 8}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2^{+}} ((2 x - 8) \frac{1}{( x - 2 ) ( x + 4 )}) = lim_{x \to 2^{+}} (2 x - 8) \cdot lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{( x - 2 ) ( x + 4 )}$

Saat $x > 2$ , nilai $(x - 2) (x + 4) > 0$ . Atau dengan kata lain, penyebutnya merupakan bilangan-bilangan positif yang mendekati nol dari arah kanan dan mengakibatkan $limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 4 right parenthesis end fraction equals plus infinity$ . Sehingga

$limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of open parentheses fraction numerator 4 x over denominator x squared plus 2 x minus 8 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator x minus 2 end fraction close parentheses equals limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of open parentheses 2 x minus 8 close parentheses times limit as x rightwards arrow 2 to the power of plus of fraction numerator 1 over denominator left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 4 right parenthesis end fraction equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses plus infinity close parentheses equals negative infinity$

Karena

$x \to 2^{-} lim (\frac{4 x}{x ^{2} + 2 x - 8} - \frac{2}{x - 2}) \neq = x \to 2^{+} lim (\frac{4 x}{x ^{2} + 2 x - 8} - \frac{2}{x - 2})$

maka nilai limit fungsi tersebut tidak ada.

Dengan demikian, nilai $begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow 2 of open parentheses fraction numerator 4 x over denominator x squared plus 2 x minus 8 end fraction minus fraction numerator 2 over denominator x minus 2 end fraction close parentheses end style$ tidak ada.