Pertanyaan

Tentukan masing-masing persamaan garis singgung pada lingkaran berikut ini: b. ( x − 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 40 melaui titik B ( − 3 , − 1 )

Tentukan masing-masing persamaan garis singgung pada lingkaran berikut ini:

b. $(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 40$ melaui titik $B (- 3, - 1)$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis singgungnya adalah 3 x − y + 10 = 0 dan − 13 x + 9 y − 30 = 0 .

persamaan garis singgungnya adalah

3 x - y + 10 = 0 dan - 13 x + 9 y - 30 = 0

Pembahasan

Ingat kembali: persamaan garis polar atau garis kutub pada lingkaran L ≡ ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah: ( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y − b ) ⋅ ( y 1 − b ) = r 2 Pada soal diketahui bahwa: B ( − 3 , − 1 ) → x 1 = − 3 , y 1 = − 1 Titik yang diberikan adalah B ( − 3 , − 1 ) , dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Akan di cek terlebih dahulu, ( x + 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( − 3 − 4 ) 2 + ( − 1 + 2 ) 2 49 + 1 50 = = =  = 40 40 40 40 Didapati titik B ( − 3 , − 1 ) tidak berada pada lingkaran, maka kita gunakan persamaan kutub atau polar, sehingga: ( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y − b ) ⋅ ( y 1 − b ) ( x + 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( − 3 − 4 ) ( x − 4 ) + ( − 1 + 2 ) ( y + 2 ) − 7 ( x − 4 ) + ( 1 ) ( y + 2 ) − 7 x + 28 + y + 2 y = = = = = = r 2 40 40 40 40 7 x + 10 Substitusi nilai y ke persamaan lingkaran tersebut: ( x − 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( ( 7 x + 10 ) + 2 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + ( 7 x + 12 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + ( 49 x 2 + 168 x + 144 ) 50 x 2 + 160 x + 120 5 x 2 + 16 x + 12 ( x + 2 ) ( 5 x + 6 ) = = = = = = = 40 40 40 40 0 0 0 x 1 = − 2 atau x 2 = − 5 6 kemudian substitusi nilai x 1 dan x 2 ke persamaan y = 7 x + 10 x = − 2 → x = − 5 6 → y = 7 x + 10 y = 7 ( − 2 ) + 10 y = − 14 + 10 y = − 4 y = 7 x + 10 y = 7 ( − 5 6 ) + 10 y = − 5 42 + 10 y = 5 8 Diperolehtitik singgungnya yaitu ( − 2 , − 4 ) dan ( − 5 6 , 5 8 ) . Diperoleh persamaan garis singgungnya: untuk titik ( − 2 , − 4 ) . ( x 1 − 4 ) ( x − 4 ) + ( y 1 + 2 ) ( y + 2 ) ( ( − 2 ) − 4 ) ( x − 4 ) + ( ( − 4 ) + 2 ) ( y + 2 ) ( − 6 ) ( x − 4 ) + ( − 2 ) ( y + 2 ) − 6 x + 24 − 2 y − 4 − 6 x − 2 y + 20 3 x − y + 10 = = = = = = 40 40 40 0 0 0 untuk titik ( − 5 6 , 5 8 ) ( x 1 − 4 ) ( x − 4 ) + ( y 1 + 2 ) ( y + 2 ) ( ( − 5 6 ) − 4 ) ( x − 4 ) + ( ( 5 8 ) + 2 ) ( y + 2 ) ( − 5 26 ) ( x − 4 ) + ( 5 18 ) ( y + 2 ) − 26 ( x − 4 ) + 18 ( y + 2 ) − 26 x + 104 + 18 y + 36 − 26 x + 18 y + 140 − 200 − 26 x + 18 y − 60 − 13 x + 9 y − 30 = = = = = = = = 40 40 40 200 200 0 0 0 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah 3 x − y + 10 = 0 dan − 13 x + 9 y − 30 = 0 .

Ingat kembali:

persamaan garis polar atau garis kutub pada lingkaran $L \equiv (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$(x_{1} - a) (x - a) + (y - b) \cdot (y_{1} - b) = r^{2}$

Pada soal diketahui bahwa:

$B (- 3, - 1) \to x_{1} = - 3, y_{1} = - 1$

Titik yang diberikan adalah $B (- 3, - 1)$ , dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Akan di cek terlebih dahulu,

$(x + 4)^{2} + (y + 2)^{2} (- 3 - 4)^{2} + (- 1 + 2)^{2} 49 + 1 50 = = = \neq = 40404040$

Didapati titik $B (- 3, - 1)$ tidak berada pada lingkaran, maka kita gunakan persamaan kutub atau polar, sehingga:

$(x_{1} - a) (x - a) + (y - b) \cdot (y_{1} - b) (x + 4)^{2} + (y + 2)^{2} (- 3 - 4) (x - 4) + (- 1 + 2) (y + 2) - 7 (x - 4) + (1) (y + 2) - 7 x + 28 + y + 2 y = = = = = = r^{2} 40404040 7 x + 10$

Substitusi nilai $y$ ke persamaan lingkaran tersebut:

$(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} (x - 4)^{2} + ((7 x + 10) + 2)^{2} x^{2} - 8 x + 16 + (7 x + 12)^{2} x^{2} - 8 x + 16 + (49 x^{2} + 168 x + 144) 50 x^{2} + 160 x + 120 5 x^{2} + 16 x + 12 (x + 2) (5 x + 6) = = = = = = = 40404040000 x_{1} = - 2 atau x_{2} = - \frac{6}{5}$

kemudian substitusi nilai $x_{1} dan x_{2}$ ke persamaan $y = 7 x + 10$

$x = - 2 \to x = - \frac{6}{5} \to y = 7 x + 10 y = 7 (- 2) + 10 y = - 14 + 10 y = - 4 y = 7 x + 10 y = 7 (- \frac{6}{5}) + 10 y = - \frac{42}{5} + 10 y = \frac{8}{5}$

Diperoleh titik singgungnya yaitu $(- 2, - 4) dan (- \frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ .

Diperoleh persamaan garis singgungnya:

untuk titik $(- 2, - 4)$ .

$(x_{1} - 4) (x - 4) + (y_{1} + 2) (y + 2) ((- 2) - 4) (x - 4) + ((- 4) + 2) (y + 2) (- 6) (x - 4) + (- 2) (y + 2) - 6 x + 24 - 2 y - 4 - 6 x - 2 y + 20 3 x - y + 10 = = = = = = 404040000$

untuk titik $(- \frac{6}{5}, \frac{8}{5})$

$(x_{1} - 4) (x - 4) + (y_{1} + 2) (y + 2) ((- \frac{6}{5}) - 4) (x - 4) + ((\frac{8}{5}) + 2) (y + 2) (- \frac{26}{5}) (x - 4) + (\frac{18}{5}) (y + 2) - 26 (x - 4) + 18 (y + 2) - 26 x + 104 + 18 y + 36 - 26 x + 18 y + 140 - 200 - 26 x + 18 y - 60 - 13 x + 9 y - 30 = = = = = = = = 404040200200000$

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah $3 x - y + 10 = 0 dan - 13 x + 9 y - 30 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.7 (4 rating)

Pertanyaan serupa

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran L ≡ ( x − 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 25 yang melalui titik O ( 0 , 0 ) adalah ...

4.4

Jawaban terverifikasi

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran L ≡ ( x − 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 25 yang melalui titik O ( 0 , 0 ) adalah ...

4.4

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik potongnya dengan sumbu - x adalah ….

4.6

Jawaban terverifikasi