Tentukan masing-masing persamaan garis singgung pada lingkaran berikut ini: b. ( x − 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 40 melaui titik B ( − 3 , − 1 )

Pembahasan

Ingat kembali: persamaan garis polar atau garis kutub pada lingkaran L ≡ ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 yang melalui titik ( x 1 ​ , y 1 ​ ) adalah: ( x 1 ​ − a ) ( x − a ) + ( y − b ) ⋅ ( y 1 ​ − b ) = r 2 Pada soal diketahui bahwa: B ( − 3 , − 1 ) → x 1 ​ = − 3 , y 1 ​ = − 1 Titik yang diberikan adalah B ( − 3 , − 1 ) , dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran. Akan di cek terlebih dahulu, ( x + 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( − 3 − 4 ) 2 + ( − 1 + 2 ) 2 49 + 1 50 ​ = = =  = ​ 40 40 40 40 ​ Didapati titik B ( − 3 , − 1 ) tidak berada pada lingkaran, maka kita gunakan persamaan kutub atau polar, sehingga: ( x 1 ​ − a ) ( x − a ) + ( y − b ) ⋅ ( y 1 ​ − b ) ( x + 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( − 3 − 4 ) ( x − 4 ) + ( − 1 + 2 ) ( y + 2 ) − 7 ( x − 4 ) + ( 1 ) ( y + 2 ) − 7 x + 28 + y + 2 y ​ = = = = = = ​ r 2 40 40 40 40 7 x + 10 ​ Substitusi nilai y ke persamaan lingkaran tersebut: ( x − 4 ) 2 + ( y + 2 ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( ( 7 x + 10 ) + 2 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + ( 7 x + 12 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + ( 49 x 2 + 168 x + 144 ) 50 x 2 + 160 x + 120 5 x 2 + 16 x + 12 ( x + 2 ) ( 5 x + 6 ) ​ = = = = = = = ​ 40 40 40 40 0 0 0 x 1 ​ = − 2 atau x 2 ​ = − 5 6 ​ ​ kemudian substitusi nilai x 1 ​ dan x 2 ​ ke persamaan y ​ = ​ 7 x + 10 ​ ​ ​ x = − 2 → x = − 5 6 ​ → ​ y = 7 x + 10 y = 7 ( − 2 ) + 10 y = − 14 + 10 y = − 4 y = 7 x + 10 y = 7 ( − 5 6 ​ ) + 10 y = − 5 42 ​ + 10 y = 5 8 ​ ​ ​ Diperolehtitik singgungnya yaitu ( − 2 , − 4 ) dan ( − 5 6 ​ , 5 8 ​ ) . Diperoleh persamaan garis singgungnya: untuk titik ( − 2 , − 4 ) . ( x 1 ​ − 4 ) ( x − 4 ) + ( y 1 ​ + 2 ) ( y + 2 ) ( ( − 2 ) − 4 ) ( x − 4 ) + ( ( − 4 ) + 2 ) ( y + 2 ) ( − 6 ) ( x − 4 ) + ( − 2 ) ( y + 2 ) − 6 x + 24 − 2 y − 4 − 6 x − 2 y + 20 3 x − y + 10 ​ = = = = = = ​ 40 40 40 0 0 0 ​ untuk titik ( − 5 6 ​ , 5 8 ​ ) ( x 1 ​ − 4 ) ( x − 4 ) + ( y 1 ​ + 2 ) ( y + 2 ) ( ( − 5 6 ​ ) − 4 ) ( x − 4 ) + ( ( 5 8 ​ ) + 2 ) ( y + 2 ) ( − 5 26 ​ ) ( x − 4 ) + ( 5 18 ​ ) ( y + 2 ) − 26 ( x − 4 ) + 18 ( y + 2 ) − 26 x + 104 + 18 y + 36 − 26 x + 18 y + 140 − 200 − 26 x + 18 y − 60 − 13 x + 9 y − 30 ​ = = = = = = = = ​ 40 40 40 200 200 0 0 0 ​ Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah ​ ​ 3 ​ ​ ​ x ​ ​ ​ − ​ ​ ​ y ​ ​ ​ + ​ ​ ​ 10 ​ ​ = ​ ​ ​ ​ 0 ​ dan ​ ​ − ​ ​ ​ 13 ​ ​ ​ x ​ ​ ​ + ​ ​ ​ 9 ​ ​ ​ y ​ ​ ​ − ​ ​ ​ 30 ​ ​ = ​ ​ ​ ​ 0 ​ .