Pertanyaan

Tentukan himpunan penyelesaian daripersamaan berikut ini! 4 cos 3 x ∘ − 4 cos 2 x ∘ − cos x ∘ + 1 = 0 , 0 ≤ x ≤ 360

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini!

$4 cos^{3} x^{\circ} - 4 cos^{2} x^{\circ} - cos x^{\circ} + 1 = 0, 0 \leq x \leq 360$

R. Almira

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pertamina

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan , maka diperoleh persamaan polinomial berderajat tiga sebagai berikut: Dengan menggunakan teorema faktor polinomial dan metode horner, faktor dari persamaan polinomial tersebut yaitu: Cek atau : Karena sisa akhirnya 0, maka merupakan faktor dari dengan hasil pembagian yaitu . Faktor lainnya yaitu faktor dari . Sehingga, dapat difaktorkan sebagai berikut: Solusi dari persamaan polinomial tersebut yaitu: Substitusi ke : Substitusi ke : Substitusi ke : Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut yaitu:

Misalkan cos space x degree equals y , maka diperoleh persamaan polinomial berderajat tiga sebagai berikut:

4 y cubed minus 4 y squared minus y plus 1 equals 0 comma space minus 1 less or equal than y less or equal than 1

Dengan menggunakan teorema faktor polinomial dan metode horner, faktor dari persamaan polinomial tersebut yaitu:

Cek y minus 1 atau y equals 1 :

long division with stack on the left by table row 4 cell negative 4 end cell cell negative 1 end cell 1 row blank 4 0 cell negative 1 end cell end table yields table row 4 cell space 0 space space end cell cell negative 1 end cell cell space 0 end cell end table pile 1 end pile end long division

Karena sisa akhirnya 0, maka y minus 1 merupakan faktor dari 4 y cubed minus 4 y squared minus y plus 1 equals 0 dengan hasil pembagian yaitu 4 y squared minus 1 . Faktor lainnya yaitu faktor dari .

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 y squared minus 1 end cell equals cell open parentheses 2 y close parentheses squared minus 1 squared end cell row blank equals cell open parentheses 2 y plus 1 close parentheses open parentheses 2 y minus 1 close parentheses end cell end table

Sehingga, 4 y cubed minus 4 y squared minus y plus 1 equals 0 dapat difaktorkan sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 y 3 minus 4 y squared minus y plus 1 end cell equals 0 row cell open parentheses 2 y plus 1 close parentheses open parentheses 2 y minus 1 close parentheses open parentheses y minus 1 close parentheses end cell equals 0 end table

Solusi dari persamaan polinomial tersebut yaitu:

Substitusi cos space x degree equals y ke y equals negative 1 half :

Substitusi cos space x degree equals y ke space y equals 1 half :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 1 half end cell row cell cos space x degree end cell equals cell 1 half end cell row cell x degree end cell equals cell cos to the power of negative 1 end exponent open parentheses 1 half close parentheses end cell row blank equals cell 60 degree space atau space 300 degree end cell end table

Substitusi cos space x degree equals y ke space y equals 1 :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals 1 row cell cos space x degree end cell equals 1 row cell x degree end cell equals cell cos to the power of negative 1 end exponent open parentheses 1 close parentheses end cell row blank equals cell 0 degree space atau space 360 degree end cell end table

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut yaitu:

HP equals open curly brackets 0 degree comma space 60 degree comma space 120 degree comma space 240 degree comma space 300 degree comma space 360 degree close curly brackets