Susunlah persamaan kuadrat dalam y yang akar-akarnya adalah kuadrat dari masing-masing akar persamaan berikut! 3x2−6x−4=0

Kita gunakan sifat jumlah dari dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan  mempunyai nilai ,  dan , sehingga diperoleh:

Dan

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\\ & =& \frac{9}{2}\end{array}$$

Ditanyakan persamaan kuadrat dalam  yang akar-akarnya adalah  dan . Langkah berikutnya adalah hitung jumlah dan hasil kali dari akar-akar tersebut. Diperoleh:

Dan

$$\begin{array}{rcl}{y}_1\cdot y_2& =& x_1^2\cdot x_2^2\\ & =& {\left(x_1\cdot x_2\right)}^2\\ & =& {\left(\frac{9}{2}\right)}^2\\ & =& \frac{81}{4}\end{array}$$

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sudah diketahui adalah:

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah .

Kita gunakan sifat jumlah dari dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan  mempunyai nilai ,  dan , sehingga diperoleh:

Dan

Ditanyakan persamaan kuadrat dalam  yang akar-akarnya adalah  dan . Langkah berikutnya adalah hitung jumlah dan hasil kali dari akar-akar tersebut. Diperoleh:

Dan

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sudah diketahui adalah:

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah .

Kita gunakan sifat jumlah dari dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan  mempunyai nilai ,  dan , sehingga diperoleh:

Dan

Ditanyakan persamaan kuadrat dalam  yang akar-akarnya adalah  dan . Langkah berikutnya adalah hitung jumlah dan hasil kali dari akar-akar tersebut. Diperoleh:

Dan

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sudah diketahui adalah:

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah .

Diketahui: 

Akar-akar dari persamaan $$2x^2-3x+10=0$$ adalah $$x_1$$ dan $$x_2$$.

Ingat! pada persamaan kuadrat $$a{x}^2+bx+c=0$$ jika akar-akarnya adalah $$x_1$$ dan $$x_2$$ maka

• $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$
• $$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Pada persamaan $$2x^2-3x+10=0$$  diperoleh

$$\begin{array}{rcl}a& =& 2\\ b& =& -3\\ c& =& 10\end{array}$$

Sehingga

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}=\frac{10}{2}=5\end{array}$$

Ingat!

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $$\alpha$$ dan $$\beta$$ adalah

$$x^2-\left(\alpha +\beta \right)x+\left(\alpha \cdot \beta \right)=0$$

Diketahui

$$\begin{gathered} \alpha =x_1-2 \\ \beta =x_2-2 \end{gathered}$$

Sehingga

$$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta & =& \left(x_1-2\right)+\left(x_2-2\right)\\ & =& x_1+x_2-2-2\\ & =& x_1+x_2-4\\ & =& \frac{3}{2}-4\\ & =& -\frac{5}{2}\\ & & \\ \alpha \cdot \beta & =& \left(x_1-2\right)\cdot \left(x_2-2\right)\\ & =& x_1\cdot x_2-2x_1-2x_2+4\\ & =& x_1\cdot x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\\ & =& 5-2\left(\frac{3}{2}\right)+4\\ & =& 5-3+4\\ & =& 6\end{array}$$

Maka diperoleh persamaan kuadrat baru sebagai berikut:

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-\left(\alpha +\beta \right)x+\left(\alpha \cdot \beta \right)& =& 0\\ x^2-\left(-\frac{5}{2}\right)x+\left(6\right)& =& 0\\ x^2+\frac{5}{2}x+6& =& 0\\ 2x^2+5x+6& =& 0\end{array}$$

Dengan demikian persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $$x_1-2$$ dan $$x_2-2$$ adalah $$\begin{array}{rcl}2x^2+5x+6& =& 0\end{array}$$.

Persamaan kuadrat  dengan , , dan  mempunyai akar-akar  dan .

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, gunakan konsep jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.

Jumlah dan hasil kali akar-akar

• Jumlah akar-akar

• Hasil kali akar-akar

Jumlah dan hasil kali akar-akar baru  dan .

• Jumlah akar-akar baru

• Hasil kali akar-akar baru

Persamaan kuadrat baru

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya  dan  yaitu:

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya  dan  adalah .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.