Pertanyaan

Selesaikan setiap integral berikut. d. ∫ 3 t 5 + t 4 d t

Selesaikan setiap integral berikut.

d. $\int 3 t^{5} + t^{4} d t$

Belajar bareng Champions

Brain Academy Champions

Hanya di Brain Academy

Habis dalam

Klaim

S. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

hasil dari integral tersebut adalah 7 6 ( t + 1 ) 2 7 − 5 12 ( t + 1 ) 2 5 + 2 ( t + 1 ) 2 3 + C .

hasil dari integral tersebut adalah

\frac{6}{7} (t + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{12}{5} (t + 1)^{\frac{5}{2}} + 2 (t + 1)^{\frac{3}{2}} + C

Pembahasan

Faktorkan bentuk t 5 + t 4 menjadi t 4 ( t + 1 ) . ∫ 3 t 5 + t 4 d t = = 3 ∫ t 4 ( t + 1 ) d t 3 ∫ t 2 t + 1 d t Misalkan t + 1 = u → d t = d u . Dengan menggunakan integral substitusi, maka penyelesaian dari integral di atas sebagai berikut. 3 ∫ t 2 t + 1 d t = = = = = = = = 3 ∫ ( u − 1 ) 2 u d u 3 ∫ ( u 2 − 2 u + 1 ) u 2 1 d u 3 ∫ u 2 5 − 2 u 2 3 + u 2 1 d u 3 ⎝ ⎛ 2 5 + 1 1 ⋅ u 2 5 + 1 − 2 3 + 1 2 ⋅ u 2 3 + 1 + 2 1 + 1 1 ⋅ u 2 1 + 1 ⎠ ⎞ 3 ⎝ ⎛ 2 7 1 ⋅ u 2 7 − 2 5 2 ⋅ u 2 5 + 2 3 1 ⋅ u 2 3 ⎠ ⎞ 3 ( 7 2 u 2 7 − 5 4 u 2 5 + 3 2 u 2 3 ) 7 6 u 2 7 − 5 12 u 2 5 + 2 u 2 3 7 6 ( t + 1 ) 2 7 − 5 12 ( t + 1 ) 2 5 + 2 ( t + 1 ) 2 3 + C Dengan demikian, hasil dari integral tersebut adalah 7 6 ( t + 1 ) 2 7 − 5 12 ( t + 1 ) 2 5 + 2 ( t + 1 ) 2 3 + C .

Faktorkan bentuk $t^{5} + t^{4}$ menjadi $t^{4} (t + 1)$ .

$\int 3 t^{5} + t^{4} d t = = 3 \int t^{4} (t + 1) d t 3 \int t^{2} t + 1 d t$

Misalkan $t + 1 = u \to d t = d u$ .

Dengan menggunakan integral substitusi, maka penyelesaian dari integral di atas sebagai berikut.

$3 \int t^{2} t + 1 d t = = = = = = = = 3 \int (u - 1)^{2} u d u 3 \int (u^{2} - 2 u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u 3 \int u^{\frac{5}{2}} - 2 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u 3 ⎝ ⎛ \frac{1}{\frac{5}{2} + 1} \cdot u^{\frac{5}{2} + 1} - \frac{2}{\frac{3}{2} + 1} \cdot u^{\frac{3}{2} + 1} + \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} \cdot u^{\frac{1}{2} + 1} ⎠ ⎞ 3 ⎝ ⎛ \frac{1}{\frac{7}{2}} \cdot u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{\frac{5}{2}} \cdot u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot u^{\frac{3}{2}} ⎠ ⎞ 3 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) \frac{6}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{12}{5} u^{\frac{5}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} \frac{6}{7} (t + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{12}{5} (t + 1)^{\frac{5}{2}} + 2 (t + 1)^{\frac{3}{2}} + C$

Dengan demikian, hasil dari integral tersebut adalah $\frac{6}{7} (t + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{12}{5} (t + 1)^{\frac{5}{2}} + 2 (t + 1)^{\frac{3}{2}} + C$ .