Pertanyaan

Salah satu titik stasioner dari fungsi f ( x ) = 2 + sin x cos x dengan 0 < x ≤ 2 π adalah ....

Salah satu titik stasioner dari fungsi $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x}$ dengan $0 < x \leq 2 π$ adalah ....

$begin mathsize 14px style open parentheses fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction comma negative fraction numerator begin display style square root of 3 end style over denominator begin display style 3 end style end fraction close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style open parentheses fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction comma fraction numerator begin display style square root of 3 end style over denominator begin display style 3 end style end fraction close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style open parentheses fraction numerator 3 straight pi over denominator 6 end fraction comma negative fraction numerator begin display style square root of 3 end style over denominator begin display style 3 end style end fraction close parentheses end style$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Nufus

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Syarat titik stasioner adalah .Kita cari turunan pertama dari f(x) . Perhatikan bahwa fungsinya berbentuk pecahan, berarti turunannya menggunakan aturan Misalkan u( x) = cos x dan v( x) = 2 + sin x, maka u '( x) = - sin x dan v '( x) = cos x. Oleh karena itu didapat Perhatikan bahwa agar penyebut tidak 0, sehingga kita punya Pada interval ,nilai x agar adalah atau .Selanjutnya, kita cari nilai y untuk masing-masing nilai x. Untuk , maka Untuk , maka Nilai x di atas memenuhi syarat agar penyebut pada soal tidak sama dengan 0. Dengan demikian, salah satu titik stasioner yang dimaksud adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Syarat titik stasioner adalah . Kita cari turunan pertama dari f(x). Perhatikan bahwa fungsinya berbentuk pecahan, berarti turunannya menggunakan aturan

$begin mathsize 14px style straight f to the power of apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis equals fraction numerator straight u to the power of apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis space straight v left parenthesis straight x right parenthesis minus straight u left parenthesis straight x right parenthesis space straight v to the power of apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis over denominator open parentheses straight v open parentheses straight x close parentheses close parentheses squared end fraction end style$

Misalkan u(x) = cos x dan v(x) = 2 + sin x, maka u'(x) = -sin x dan v'(x) = cos x.

Oleh karena itu didapat

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f to the power of apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell fraction numerator straight u to the power of apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis space straight v left parenthesis straight x right parenthesis minus straight u left parenthesis straight x right parenthesis space straight v to the power of apostrophe left parenthesis straight x right parenthesis over denominator open parentheses straight v open parentheses straight x close parentheses close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses negative sin space straight x close parentheses open parentheses 2 plus sin space straight x close parentheses minus open parentheses cos space straight x close parentheses open parentheses cos space straight x close parentheses over denominator open parentheses 1 plus sin space straight x close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 space sin space straight x space minus open parentheses sin squared straight x plus cos squared straight x close parentheses over denominator left parenthesis 1 plus sin space straight x right parenthesis squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 space sin space straight x space minus 1 over denominator left parenthesis 1 plus sin space straight x right parenthesis squared end fraction end cell end table end style$

Perhatikan bahwa agar penyebut tidak 0, sehingga kita punya

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative 2 space sin space straight x minus 1 end cell equals 0 row cell negative 2 space sin space straight x end cell equals 1 row cell sin space straight x end cell equals cell negative 1 half end cell end table end style

Pada interval , nilai x agar adalah $begin mathsize 14px style straight x equals fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction end style$ atau $begin mathsize 14px style straight x equals fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction end style$ . Selanjutnya, kita cari nilai y untuk masing-masing nilai x.

Untuk $begin mathsize 14px style straight x equals fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight y equals cell fraction numerator cos space open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses over denominator 2 plus sin space open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative begin display style fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end style over denominator 2 plus open parentheses negative begin display style 1 half end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative begin display style fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end style over denominator begin display style 3 over 2 end style end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction end cell end table end style$

Untuk $begin mathsize 14px style straight x equals fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight y equals cell fraction numerator cos space open parentheses fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses over denominator 2 plus sin space open parentheses fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end style over denominator 2 plus open parentheses negative begin display style 1 half end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end style over denominator begin display style 3 over 2 end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction end cell end table end style$

Nilai x di atas memenuhi syarat agar penyebut pada soal tidak sama dengan 0. Dengan demikian, salah satu titik stasioner yang dimaksud adalah $begin mathsize 14px style open parentheses fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction comma negative fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses end style$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.