Pertanyaan

Persamaan garis normal dari y = sec x − 2 csc x pada titik x = 3 π adalah ....

Persamaan garis normal dari $y = sec x - 2 csc x$ pada titik $x = \frac{π}{3}$ adalah ....

$y equals space open parentheses negative fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 minus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses plus open parentheses fraction numerator 6 plus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses$
$y equals space open parentheses fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 plus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses plus open parentheses fraction numerator 6 plus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses$
$y equals space open parentheses negative fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 plus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses plus open parentheses fraction numerator 6 minus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses$
$y equals space open parentheses negative fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 minus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses plus open parentheses fraction numerator 6 minus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses$
$y equals space open parentheses fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 minus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses plus open parentheses fraction numerator 6 minus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses$

N. Putri

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Kita cari dulu gradien garis singgungnya dengan cara mencari turunan pertama dari kurva tersebut, kemudian subtitusikan . Perhatikan bahwa turunan pertama fungsi adalah sebagai berikut. Lakukan substitusi sehingga didapat gradiennya sebagai berikut. Ingat bahwa garis normal selalu tegak lurus dengan garis singgung. Akibatnya, hubungan dari gradien garis singgung dan gradien garis normal adalah sebagai berikut. Selanjutnya, akan dicari nilai saat . Berarti, akan dicari nilai dari . Perhatikan bahwa Didapat titik yang dilalui garis normal tersebut adalah dan gradiennya adalah . Akibatnya, dengan menggunakan rumus dapat ditentukan persamaan garis normalnya sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Kita cari dulu gradien garis singgungnya dengan cara mencari turunan pertama dari kurva tersebut, kemudian subtitusikan x equals straight pi over 3 .

Perhatikan bahwa turunan pertama fungsi f left parenthesis x right parenthesis equals sec x minus 2 csc x adalah sebagai berikut.

Lakukan substitusi sehingga didapat gradiennya sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript 1 end cell equals cell sec invisible function application open parentheses pi over 3 close parentheses tan invisible function application open parentheses pi over 3 close parentheses plus 2 csc invisible function application open parentheses pi over 3 close parentheses cot invisible function application open parentheses pi over 3 close parentheses end cell row blank equals cell left parenthesis 2 right parenthesis left parenthesis square root of 3 right parenthesis plus 2 open parentheses fraction numerator 2 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell 2 square root of 3 plus 4 over 3 end cell row blank equals cell fraction numerator 6 square root of 3 plus 4 over denominator 3 end fraction end cell end table$

Ingat bahwa garis normal selalu tegak lurus dengan garis singgung. Akibatnya, hubungan dari gradien garis singgung m subscript 1 dan gradien garis normal m subscript 2 adalah sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript 1 times m subscript 2 end cell equals cell negative 1 end cell row cell open parentheses fraction numerator 6 square root of 3 plus 4 over denominator 3 end fraction close parentheses m subscript 2 end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript 2 end cell equals cell negative fraction numerator 3 over denominator 6 square root of 3 minus 4 end fraction end cell row cell m subscript 2 end cell equals cell open parentheses negative fraction numerator 3 over denominator 6 square root of 3 plus 4 end fraction cross times fraction numerator 6 square root of 3 minus 4 over denominator 6 square root of 3 minus 4 end fraction close parentheses end cell row cell m subscript 2 end cell equals cell negative fraction numerator 3 left parenthesis 6 square root of 3 minus 4 right parenthesis over denominator 92 end fraction end cell end table$

Selanjutnya, akan dicari nilai saat x equals straight pi over 3 . Berarti, akan dicari nilai dari f open parentheses straight pi over 3 close parentheses .

Perhatikan bahwa

$f left parenthesis x right parenthesis equals sec x minus 2 csc x f open parentheses straight pi over 3 close parentheses equals sec open parentheses straight pi over 3 close parentheses minus 2 csc open parentheses straight pi over 3 close parentheses straight f open parentheses straight pi over 3 close parentheses equals 2 minus fraction numerator 4 over denominator square root of 3 end fraction f open parentheses straight pi over 3 close parentheses equals space 2 minus fraction numerator 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction f open parentheses straight pi over 3 close parentheses equals fraction numerator 6 minus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction$

Didapat titik yang dilalui garis normal tersebut adalah $open parentheses x subscript 1 comma space y subscript 1 close parentheses equals open parentheses straight pi over 3 comma space fraction numerator 6 minus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses$ dan gradiennya adalah $m subscript 2 equals negative fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 minus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction$ .

Akibatnya, dengan menggunakan rumus y minus y subscript 1 equals m subscript 2 open parentheses x minus x subscript 1 close parentheses dapat ditentukan persamaan garis normalnya sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y minus y subscript 1 end cell equals cell m subscript 2 open parentheses x minus x subscript 1 close parentheses end cell row cell y minus open parentheses fraction numerator 6 space space minus space 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses end cell equals cell open parentheses negative fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 minus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses end cell row y equals cell open parentheses negative fraction numerator 3 open parentheses 6 square root of 3 minus 4 close parentheses over denominator 92 end fraction close parentheses open parentheses x minus straight pi over 3 close parentheses plus open parentheses fraction numerator 6 minus 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction close parentheses end cell end table$

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.