Pertanyaan

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, simpulan dari pernyataan di atas adalah ...

Perhatikan pernyataan berikut!

$P subscript n colon space 2 over 3 plus 3 over 3 plus 4 over 3 plus horizontal ellipsis plus fraction numerator n plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator n open parentheses n plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction$

untuk setiap bilangan asli $n$ .

Dengan menggunakan induksi matematika, simpulan dari pernyataan di atas adalah ...

Pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.
Pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama saja.
Pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah kedua saja.
Pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama dan langkah kedua.
Tidak dapat disimpulkan pernyataan tersebut benar atau salah.

W. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sriwijaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu , maka langkah pertamanya adalah buktikan benar. LANGKAH 1: Buktikan benar. Karena , maka Ruas kiri: Ruas kanan: Karena , maka salah. Oleh karena itu, terdapat kesalahan pada langkah pertama. LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Asumsikan bernilai benar. Akan dibuktikan bahwa bernilai benar. Dari ruas kiri didapat hasil sebagai berikut. Didapat bahwa ruas . Oleh karena itu, bernilai salah. Dengan demikian, pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama maupun langkah kedua. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan pernyataan $P subscript n colon space 2 over 3 plus 3 over 3 plus 4 over 3 plus horizontal ellipsis plus fraction numerator n plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator n open parentheses n plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction$ untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu n greater or equal than 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 benar.

LANGKAH 1: Buktikan benar.

Karena $P subscript n colon space 2 over 3 plus 3 over 3 plus 4 over 3 plus horizontal ellipsis plus fraction numerator n plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator n open parentheses n plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction$ , maka $P subscript 1 colon space 2 over 3 equals fraction numerator 1 times open parentheses 1 plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction$

Ruas kiri:

Ruas kanan: $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 times open parentheses 1 plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction equals 4 over 3 end style$

Karena ruas space kiri not equal to ruas space kanan , maka P subscript 1 salah.

Oleh karena itu, terdapat kesalahan pada langkah pertama.

LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli , bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Asumsikan $P subscript k colon 2 over 3 plus 3 over 3 plus 4 over 3 plus horizontal ellipsis plus fraction numerator k plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator k open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction$ bernilai benar.

Akan dibuktikan bahwa $P subscript k plus 1 end subscript colon space 2 over 3 plus 3 over 3 plus 4 over 3 plus horizontal ellipsis plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction$ bernilai benar.

Dari ruas kiri P subscript k plus 1 end subscript didapat hasil sebagai berikut.

$P subscript k plus 1 end subscript colon stack space stack 2 over 3 plus 3 over 3 plus 4 over 3 plus horizontal ellipsis plus fraction numerator k plus 1 over denominator 3 end fraction with underbrace below with fraction numerator k open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction below plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator k open parentheses k plus 3 close parentheses over denominator 3 end fraction plus fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator k squared plus 3 k plus k plus 1 plus 1 over denominator 3 end fraction equals fraction numerator k squared plus 4 k plus 2 over denominator 3 end fraction$

Didapat bahwa ruas kiri not equal to ruas space kanan . Oleh karena itu, P subscript k plus 1 end subscript bernilai salah.

Dengan demikian, pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama maupun langkah kedua.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.