Pertanyaan

Perhatikan dua buah pernyataan berikut ini! Dengan induksi matematika, pernyataan di atas yang bernilai benar untuk setiap bilangan asli n adalah ….

Perhatikan dua buah pernyataan berikut ini!

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n subscript 1 end subscript blank colon blank 3 plus 6 plus 9 plus horizontal ellipsis plus 3 straight n equals fraction numerator 3 straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction straight P subscript straight n subscript 2 end subscript blank colon 4 plus 6 plus 8 plus horizontal ellipsis plus 2 straight n plus 2 equals straight n open parentheses straight n plus 2 close parentheses end style$

Dengan induksi matematika, pernyataan di atas yang bernilai benar untuk setiap bilangan asli n adalah ….

1) saja
2) saja
1) dan 2)
tidak keduanya
tidak dapat ditentukan

F. Ayudhita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Perhatikan pernyataan (1) untuk setiap bilangan asli n . LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri : 3 Ruas kanan : Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Dari ruas kiri Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan. Maka, bernilai benar. Karena 1. benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Maka, benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika. Perhatikan pernyataan (2) untuk setiap bilangan asli n . LANGKAH 1 : Buktikan benar. Perhatikan pernyataan maka Ruas kiri : 2 Ruas kanan : Karena ruas kiri ≠ ruas kanan, maka salah. Maka, benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika. Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Perhatikan pernyataan (1)

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n subscript 1 end subscript colon 3 plus 6 plus 9 plus horizontal ellipsis plus 3 straight n equals fraction numerator 3 straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli n .

LANGKAH 1 : Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n colon 3 plus 6 plus 9 plus horizontal ellipsis plus 3 straight n equals fraction numerator 3 straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

maka

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n colon 3 equals fraction numerator 3 open parentheses 1 close parentheses open parentheses 1 plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

Ruas kiri : 3

Ruas kanan : $begin mathsize 14px style fraction numerator 3 open parentheses 1 close parentheses open parentheses 1 plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction equals 3 space end style$

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

Asumsikan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight k colon 3 plus 6 plus 9 plus horizontal ellipsis plus 3 straight k equals fraction numerator 3 straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

bernilai benar.

Perhatikan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight k plus 1 end subscript colon 3 plus 6 plus 9 plus horizontal ellipsis plus 3 open parentheses straight k plus 1 close parentheses equals fraction numerator 3 open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

Dari ruas kiri

$begin mathsize 11px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell stack stack 3 plus 6 plus 9 plus horizontal ellipsis plus 3 k with underbrace below with fraction numerator 3 k open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction below plus 3 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell fraction numerator 3 k open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction plus 3 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 3 k open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction plus fraction numerator 6 open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 k open parentheses k plus 1 close parentheses plus 6 open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 3 k plus 6 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 end fraction end cell end table end style$

Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan.
Maka, bernilai benar.

Karena

1. benar.

2. Untuk sembarang bilangan asli k , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Maka, benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika.

Perhatikan pernyataan (2)

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n subscript 2 end subscript blank colon 4 plus 6 plus 8 plus horizontal ellipsis plus open parentheses 2 straight n plus 2 close parentheses equals fraction numerator straight n open parentheses straight n plus 2 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

untuk setiap bilangan asli n .

LANGKAH 1 : Buktikan benar.

Perhatikan pernyataan

$begin mathsize 14px style straight P subscript straight n colon 4 plus 6 plus 8 plus horizontal ellipsis plus open parentheses 2 straight n plus 2 close parentheses equals fraction numerator straight n open parentheses straight n plus 2 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

maka

$begin mathsize 14px style straight P subscript 1 colon 4 equals fraction numerator 1 times open parentheses 1 plus 2 close parentheses over denominator 2 end fraction end style$

Ruas kiri : 2

Ruas kanan : $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 times open parentheses 1 plus 2 close parentheses over denominator 2 end fraction equals 3 over 2 end style$

Karena ruas kiri ≠ ruas kanan, maka salah.

Maka, benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.