Pertanyaan

Perhatikan gambar di bawah ini! Diberikan kurva y = cos x ,garis y = − 2 1 ,dan daerah berwarna yang dibatasi oleh keduanya. Himpunan penyelesaian dari daerah tersebut adalah ….

Perhatikan gambar di bawah ini!

Diberikan kurva $y = cos x$ , garis $y = - \frac{1}{2}$ , dan daerah berwarna yang dibatasi oleh keduanya. Himpunan penyelesaian dari daerah tersebut adalah ….

$HP equals open curly brackets x vertical line blank fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction less or equal than x less or equal than pi close curly brackets$
$HP equals open curly brackets x vertical line blank fraction numerator 2 pi over denominator 5 end fraction less or equal than x less or equal than pi close curly brackets$
$HP equals open curly brackets x vertical line blank fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction less or equal than x less or equal than pi close curly brackets$
$HP equals open curly brackets x vertical line blank fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction less than x less or equal than pi close curly brackets$
$HP equals open curly brackets x vertical line blank fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction less or equal than x less or equal than pi close curly brackets$

R. Rohmat

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Akan digunakan dua metode, yaitu metode grafik dan metode garis bilangan. Metode Grafik Untuk menentukan pertidaksamaan yang tepat, akan dicari titik potong antara dan dengan cara sebagai berikut. Nilai x yang memenuhi adalah dan seterusnya. Namun, perhatikan bahwa daerah tersebut berada pada interval sehingga nilai x yang memenuhi adalah .Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut! Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari daerah yang berwarna adalah . Metode Garis Bilangan Sebelumnya, perhatikan bahwa daerah terebut berada pada interval . Kemudian, perhatikan bahwa daerah teresebut dibatas dengan garis berada di atas sementara kurva berada di bawah. Artinya, pertidaksamaannya adalah . Kemudian, perhatikan bahwa Ruas kiri akan menjadi nol jika sehingga didapat perhitungan sebagai berikut. Akibatnya, didapat atau . Dengan kata lain, didapat dua hasil sebagai berikut. atau dengan k dan p adalah bilangan bulat. Akan dibagi menjadi dua kasus. Kasus I: atau Perhatikan jika k = 0, maka didapat atau yang keduanya tidak memenuhi syarat .Akibatnya, k = 0 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi. Kemudian, perhatikan jika ,maka didapat atau yang keduanya juga tidak memenuhi syarat .Akibatnya, tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi. Dengan demikian, untuk kasus I tidak ada penyelesaian yang memenuhi. Kasus II: atau Perhatikan jika p = 0, maka didapat atau .Karena yang memenuhi syarat adalah saja, maka diambil sebagai penyelesaian. Kemudian, jika p = 1, didapat atau yang keduanya tidak memenuhi syarat .Akibatnya, p = 1 tidak memenuhi dan untuk nilai p yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi. Lalu, jika ,didapat atau yang keduanya juga tidak memenuhi syarat .Akibatnya, tidak memenuhi dan untuk nilai p yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi. Dengan demikian, dari kasus II didapat solusinya adalah . Akibatnya, diperoleh garis bilangan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah ≤, maka diambil .Namun, karena syaratnya adalah ,maka diambil sebagai penyelesaiannya. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari daerah yang berwarna adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Akan digunakan dua metode, yaitu metode grafik dan metode garis bilangan.

Metode Grafik

Untuk menentukan pertidaksamaan yang tepat, akan dicari titik potong antara y equals cos invisible function application x dan y equals negative 1 half dengan cara sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals y row cell cos invisible function application x end cell equals cell negative 1 half end cell end table

Nilai x yang memenuhi cos invisible function application x equals negative 1 half adalah $x equals plus-or-minus fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction comma blank plus-or-minus fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction comma$ dan seterusnya. Namun, perhatikan bahwa daerah tersebut berada pada interval pi over 2 less or equal than x less or equal than pi sehingga nilai x yang memenuhi adalah $x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ . Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut!

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari daerah yang berwarna adalah $HP equals open curly brackets x vertical line blank fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction less or equal than x less or equal than pi close curly brackets$ .

Metode Garis Bilangan

Sebelumnya, perhatikan bahwa daerah terebut berada pada interval pi over 2 less or equal than x less or equal than pi .

Kemudian, perhatikan bahwa daerah teresebut dibatas dengan garis y equals negative 1 half berada di atas sementara kurva y equals cos invisible function application x berada di bawah. Artinya, pertidaksamaannya adalah .

Kemudian, perhatikan bahwa

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos invisible function application x end cell less or equal than cell negative 1 half end cell row cell cos invisible function application x plus 1 half end cell less or equal than 0 end table

Ruas kiri akan menjadi nol jika cos invisible function application x equals negative 1 half sehingga didapat perhitungan sebagai berikut.

cos invisible function application x equals negative 1 half cos invisible function application x equals negative cos invisible function application open parentheses pi over 3 close parentheses cos invisible function application x equals cos invisible function application open parentheses pi plus-or-minus pi over 3 close parentheses

Akibatnya, didapat $cos invisible function application x equals cos invisible function application open parentheses pi plus pi over 3 close parentheses equals cos invisible function application open parentheses fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction close parentheses$ atau $cos invisible function application x equals cos invisible function application open parentheses pi minus pi over 3 close parentheses equals cos invisible function application open parentheses fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction close parentheses$ .

Dengan kata lain, didapat dua hasil sebagai berikut.

$x equals fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times k x equals negative fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times k$

atau

$x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times p x equals negative fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times p$

dengan k dan p adalah bilangan bulat.

Akan dibagi menjadi dua kasus.

Kasus I: $x equals fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times k$ atau $x equals negative fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times k$

Perhatikan jika k = 0, maka didapat $x equals fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction$ atau $x equals negative fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction$ yang keduanya tidak memenuhi syarat . Akibatnya, k = 0 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi.

Kemudian, perhatikan jika , maka didapat $x equals negative fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ atau $x equals negative fraction numerator 10 pi over denominator 3 end fraction$ yang keduanya juga tidak memenuhi syarat . Akibatnya, tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi.

Dengan demikian, untuk kasus I tidak ada penyelesaian yang memenuhi.
Kasus II: $x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times p$ atau $x equals negative fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction plus 2 pi times p$

Perhatikan jika p = 0, maka didapat $x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ atau $x equals negative fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ . Karena yang memenuhi syarat adalah $x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ saja, maka diambil $x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ sebagai penyelesaian.

Kemudian, jika p = 1, didapat $x equals fraction numerator 8 pi over denominator 3 end fraction$ atau $x equals fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction$ yang keduanya tidak memenuhi syarat . Akibatnya, p = 1 tidak memenuhi dan untuk nilai p yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi.

Lalu, jika , didapat $x equals negative fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction$ atau $x equals negative fraction numerator 8 pi over denominator 3 end fraction$ yang keduanya juga tidak memenuhi syarat . Akibatnya, tidak memenuhi dan untuk nilai p yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi.

Dengan demikian, dari kasus II didapat solusinya adalah $x equals fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ .

Akibatnya, diperoleh garis bilangan sebagai berikut.

Karena tanda pertidaksamaannya adalah ≤, maka diambil $x greater or equal than fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$ . Namun, karena syaratnya adalah pi over 2 less or equal than x less or equal than pi , maka diambil $fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction less or equal than x less or equal than pi$ sebagai penyelesaiannya.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.