Pada sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm, titik M dan N berturut-turut adalah titik tengah dari rusuk CG dan AE. Jika β adalah sudut yang dibentuk oleh bidang BMN dan bidang BGE, maka nilai dari cos β adalah ....

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini! Perhatikan bahwa masing-masing garis BG, BE, dan EG adalah diagonal bidang kubus sehingga segitiga BGE adalah segitiga sama sisi. Jika P adalah titik tengah ruas garis EG, maka BPadalah garis tinggi segitiga BGE. Dapat diperiksa bahwa panjang ruas garis BM sama dengan panjang ruas garis BN sehinggasegitiga BMN adalah segitiga sama kaki. Jika Q adalah titik tengah ruas garis MN, maka BQ adalah garis tinggi segitiga BMN. Lebih lanjutnya, perhatikan gambar berikut ini! Besar sudut yang terbentuk antara bidang BGE dengan bidang BMN sama dengan besar sudut antara garis BP dan garisBQ, yaitu . Perhatikansegitiga siku-siku BCM dengan siku-siku di titik C! Karena M adalah titik tengah rusuk CG, maka didapat panjang ruas garis CM sebagai berikut. Dengan menggunakan Teorema Phytagoras, didapat panjang ruas garis BM sebagai berikut. Kemudian, pandang segitiga siku-siku BPG dengan siku-siku di titik P dan segitiga BQM dengan siku-siku di titik Q! Karena garis BGadalah diagonal sisi kubus dan panjang rusuk kubus adalah 2 cm, maka .Dengan menggunakan Teorema Phytagoras, diperoleh panjang ruas garis BP dan BQ sebagai berikut. dan Lalu, pandang segitiga PBQ! Perhatikan bahwa panjang ruas PQ, EN, dan GM sama, yaitu . Dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh nilai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah A.