Pertanyaan

Pada interval 0 < x < 2 π , banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan cos 8 x + 9 sin 4 x − 5 = 0 dan yang menyebabkan kurva y = sin 2 x berada di bawah sumbu- adalah ....

Pada interval $0 < x < 2 π$ , banyaknya nilai $x$ yang memenuhi persamaan $cos 8 x + 9 sin 4 x - 5 = 0$ dan yang menyebabkan kurva $y = sin 2 x$ berada di bawah sumbu- adalah ....

lebih dari

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Natalia

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Ingat bahwa Sehingga Misal . Akibatnya, didapat perhitungan sebagai berikut. Pembuat nolnya adalah atau . Untuk , didapat Namun, karena nilai maksimum dari sinusadalah , maka tidak ada nilai yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk , didapathasil sebagai berikut. Ingat bahwa penyelesaian dari persamaan adalah sebagai berikut dengan adalah bilangan bulat. Akan ditinjau per kasus. Kasus 1. Jika , maka penyelesaian dari persamaan adalah sebagai berikut. Pada interval , perhatikan pemaparan berikut! untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh bukan solusi. untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh bukan solusi. Akibatnya, untuk kasus 1, nilai-nilai yang memenuhi adalah . Kasus 2. Jika , maka penyelesaian dari persamaan adalah sebagai berikut. Pada interval , perhatikan pemaparan berikut! untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh bukan solusi. untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi. untuk didapat yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh bukan solusi. Akibatnya, untuk kasus 2, nilai-nilai yang memenuhi adalah . Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah Selanjutnya, dari himpunan penyelesaian tersebut, akan dicari nilai-nilai sehingga kurva berada di bawah sumbu- , atau Fungsi sin akan bernilai negatif jika berada di kuadran III atau IV. Dengan demikian, sudut harus berada di kuadran III atau IV. Perhatikan penjabaran berikut! Dengan kata lain,terdapat 4 nilai yang memenuhi, yaitu . Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Ingat bahwa

Sehingga

Misal p equals sin 4 x . Akibatnya, didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 p squared minus 9 p plus 4 end cell equals 0 row cell open parentheses p minus 4 close parentheses open parentheses 2 p minus 1 close parentheses end cell equals 0 end table

Pembuat nolnya adalah p equals 4 atau p equals 1 half .

Untuk p equals 4 , didapat

Namun, karena nilai maksimum dari sinus adalah , maka tidak ada nilai yang memenuhi persamaan tersebut.

Untuk p equals 1 half , didapat hasil sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row p equals cell 1 half end cell row cell sin invisible function application 4 x end cell equals cell 1 half end cell row cell sin invisible function application 4 x end cell equals cell sin invisible function application pi over 6 end cell end table end style

Ingat bahwa penyelesaian dari persamaan sin space invisible function application x equals sin space invisible function application alpha adalah sebagai berikut

x equals alpha plus 2 pi k x equals open parentheses pi minus alpha close parentheses plus 2 pi k

dengan adalah bilangan bulat.

Akan ditinjau per kasus.

Kasus 1. Jika x equals alpha plus 2 πk , maka penyelesaian dari persamaan adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 x end cell equals cell pi over 6 plus 2 pi k end cell row x equals cell pi over 24 plus pi over 2 k end cell end table end style

Pada interval 0 less than x less than 2 pi , perhatikan pemaparan berikut!

untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi.
untuk didapat $x equals negative fraction numerator 11 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh $x equals negative fraction numerator 11 straight pi over denominator 24 end fraction$ bukan solusi.
untuk didapat $x equals fraction numerator 13 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 13 straight pi over denominator 24 end fraction$ merupakan solusi.
untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi.
untuk didapat $x equals fraction numerator 37 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 37 straight pi over denominator 24 end fraction$ merupakan solusi.
untuk didapat $x equals fraction numerator 49 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 49 straight pi over denominator 24 end fraction$ bukan solusi.

Akibatnya, untuk kasus 1, nilai-nilai yang memenuhi adalah $straight pi over 24 comma space fraction numerator 13 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 25 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 37 straight pi over denominator 24 end fraction$ .

Kasus 2. Jika x equals open parentheses straight pi minus alpha close parentheses plus 2 πk , maka penyelesaian dari persamaan sin invisible function application 4 x equals sin invisible function application pi over 6 adalah sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 x end cell equals cell open parentheses pi minus pi over 6 close parentheses plus 2 pi k end cell row cell 4 x end cell equals cell fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction plus 2 pi k end cell row x equals cell fraction numerator 5 pi over denominator 24 end fraction plus pi over 2 k end cell end table end style$

Pada interval 0 less than x less than 2 pi , perhatikan pemaparan berikut!

untuk didapat $x equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 24 end fraction$ merupakan solusi.
untuk didapat $x equals negative fraction numerator 7 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh $x equals negative fraction numerator 7 straight pi over denominator 24 end fraction$ bukan solusi.
untuk didapat $x equals fraction numerator 17 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 17 straight pi over denominator 24 end fraction$ merupakan solusi.
untuk didapat yang memenuhi syarat . Diperoleh merupakan solusi.
untuk didapat $x equals fraction numerator 41 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 41 straight pi over denominator 24 end fraction$ merupakan solusi.
untuk didapat $x equals fraction numerator 54 straight pi over denominator 24 end fraction$ yang tidak memenuhi syarat . Diperoleh $x equals fraction numerator 54 straight pi over denominator 24 end fraction$ bukan solusi.

Akibatnya, untuk kasus 2, nilai-nilai yang memenuhi adalah $fraction numerator 5 pi over denominator 24 end fraction comma fraction numerator 17 pi over denominator 24 end fraction comma fraction numerator 29 pi over denominator 24 end fraction comma fraction numerator 41 pi over denominator 24 end fraction$ .

Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah $open curly brackets straight pi over 24 comma space fraction numerator 5 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 13 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 17 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 25 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 29 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 37 straight pi over denominator 24 end fraction comma space fraction numerator 41 straight pi over denominator 24 end fraction close curly brackets$

Selanjutnya, dari himpunan penyelesaian tersebut, akan dicari nilai-nilai sehingga kurva y equals sin space invisible function application 2 x berada di bawah sumbu-, atau

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y less than 0 row cell sin invisible function application space 2 x end cell less than 0 end table

Fungsi sin akan bernilai negatif jika berada di kuadran III atau IV. Dengan demikian, sudut 2 x harus berada di kuadran III atau IV. Perhatikan penjabaran berikut!

$begin mathsize 14px style x equals pi over 24 rightwards arrow 2 x equals pi over 12 equals 15 degree rightwards arrow text Kuadran I (tidak memenuhi) end text x equals fraction numerator 13 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 13 pi over denominator 12 end fraction equals 195 degree rightwards arrow text Kuadran III (memenuhi) end text x equals fraction numerator 25 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 25 pi over denominator 12 end fraction equals 375 degree rightwards arrow text Kuadran I end text left parenthesis tidak space memenuhi right parenthesis x equals fraction numerator 37 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 37 pi over denominator 12 end fraction equals 555 degree rightwards arrow text Kuadran III (memenuhi) end text x equals fraction numerator 5 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 5 pi over denominator 12 end fraction equals 75 degree rightwards arrow text Kuadran I end text left parenthesis tidak space memenuhi right parenthesis x equals fraction numerator 17 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 17 pi over denominator 12 end fraction equals 255 degree rightwards arrow text Kuadran III (memenuhi) end text x equals fraction numerator 29 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 29 pi over denominator 12 end fraction equals 435 degree rightwards arrow text Kuadran I (tidak memenuhi) end text x equals fraction numerator 41 pi over denominator 24 end fraction rightwards arrow 2 x equals fraction numerator 17 pi over denominator 12 end fraction equals 615 degree rightwards arrow text Kuadran III (memenuhi) end text end style$

Dengan kata lain, terdapat 4 nilai yang memenuhi, yaitu $fraction numerator 13 pi over denominator 24 end fraction comma fraction numerator 17 pi over denominator 24 end fraction comma fraction numerator 37 pi over denominator 24 end fraction comma fraction numerator 41 pi over denominator 24 end fraction$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.