Pertanyaan

Pada gambar di atas, sisi-sisi persegi besar menyinggung lingkaran dan titik-titik sudut persegikecil terletak pada lingkaran. Perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas persegi besar adalah ... : ...

E. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas persegi besar adalah 2 : 7 .

perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas persegi besar adalah

2 : 7

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut: Perlu diingat bahwa: L ◯ = π r 2 L □ = s 2 Misalkan jari-jari lingkaran adalah r , maka r = PG = PR = 2 1 AB atau AB = 2 r . Selain itu, kita juga dapat menyatakan hubungan jari-jari dengan sisi persegi kecil, yaitu dengan rumus Pythagoras untuk segitiga PQG , dimana PQ = QG = 2 1 EF . PQ 2 + QG 2 2 PQ 2 PQ 2 PQ PQ PQ PQ PQ = = = = = = = = r 2 r 2 2 r 2 2 r 2 2 r 2 2 r 2 × 2 2 2 r 2 × 2 2 1 × r × 2 Sehingga diperoleh: EF = = = 2 PQ 2 × ( 2 1 × r × 2 ) r × 2 Luas daerah yang di arsir adalah luas lingkaran dikurangi luas persegi kecil yaitu: L arsir = = = = = = L ◯ − L □ kecil π r 2 − EF 2 π r 2 − ( r × 2 ) 2 π r 2 − r 2 × ( 2 ) 2 π r 2 − r 2 × 2 r 2 ( π − 2 ) Perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas persegi besar dapat ditentukan seperti berikut: L □ besar L arsir = = = = = = = = ( 2 r ) 2 r 2 ( π − 2 ) 4 r 2 r 2 ( π − 2 ) 4 π − 2 4 7 22 − 2 4 7 22 − 7 14 4 7 8 7 8 × 4 1 7 2 Jadi, perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas persegi besar adalah 2 : 7 .

Perhatikan gambar berikut:

Perlu diingat bahwa:

$L_{◯} = π r^{2} L_{□} = s^{2}$

Misalkan jari-jari lingkaran adalah $r$ , maka $r = PG = PR = \frac{1}{2} AB$ atau $AB = 2 r$ .

Selain itu, kita juga dapat menyatakan hubungan jari-jari dengan sisi persegi kecil, yaitu dengan rumus Pythagoras untuk segitiga $PQG$ , dimana $PQ = QG = \frac{1}{2} EF$ .

$PQ^{2} + QG^{2} 2 PQ^{2} PQ^{2} PQ PQ PQ PQ PQ = = = = = = = = r^{2} r^{2} \frac{r ^{2}}{2} \frac{r ^{2}}{2} \frac{r ^{2}}{2} \frac{r ^{2}}{2} \times \frac{2}{2} \frac{r ^{2} \times 2}{2} \frac{1}{2} \times r \times 2$

Sehingga diperoleh:

$EF = = = 2 PQ 2 \times (\frac{1}{2} \times r \times 2) r \times 2$

Luas daerah yang di arsir adalah luas lingkaran dikurangi luas persegi kecil yaitu:

$L_{arsir} = = = = = = L_{◯} - L_{□ kecil} π r^{2} - EF^{2} π r^{2} - (r \times 2)^{2} π r^{2} - r^{2} \times (2)^{2} π r^{2} - r^{2} \times 2 r^{2} (π - 2)$

Perbandingan luas daerah yang diarsir dengan luas persegi besar dapat ditentukan seperti berikut:

$\frac{L _{arsir}}{L _{□ besar}} = = = = = = = = \frac{r ^{2} ( π - 2 )}{( 2 r ) ^{2}} \frac{r ^{2} ( π - 2 )}{4 r ^{2}} \frac{π - 2}{4} \frac{\frac{22}{7} - 2}{4} \frac{\frac{22}{7} - \frac{14}{7}}{4} \frac{\frac{8}{7}}{4} \frac{8}{7} \times \frac{1}{4} \frac{2}{7}$