Nilai x → 0 lim ​ sin 4 x ⋅ tan x 3 x ⋅ tan 2 x ⋅ cos x ​ = ....

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Soal limit di atas merupakan limit fungsi trigonometri yang memuat sinus, cosinus dan tangen. Jika diselesaikam dengan menggunakan metode substitusi, maka: lim x → 0 ​ s i n 4 x ⋅ t a n x 3 x ⋅ t a n 2 x ⋅ c o s x ​ ​ = = = ​ s i n 4 ( 0 ) ⋅ t a n 0 3 ( 0 ) ⋅ t a n 2 ( 0 ) ⋅ c o s 0 ​ 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 ⋅ 1 ​ 0 0 ​ ​ Karena 0 0 ​ tidak tentu, maka soal tersebut perlu diselesaikan dengan menggunakan cara lain. Ingat bahwa pada limit fungsi trigonometri untuk tangen berlaku sifat berikut: x → 0 lim ​ tan x x ​ = 1 Rumus sinus sudut rangkap, yaitu: sin 2 α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α Kemudian terdapat identitas trigonometri: tan α = cos α sin α ​ Diperoleh, lim x → 0 ​ s i n 4 x ⋅ t a n x 3 x ⋅ t a n 2 x ⋅ c o s x ​ ​ = = = = = = = = ​ lim x → 0 ​ s i n 2 ( 2 x ) ⋅ t a n x 3 x ⋅ cos 2 x sin 2 x ​ ⋅ c o s x ​ lim x → 0 ​ 2 ⋅ s i n 2 x ⋅ c o s 2 x ⋅ t a n x 3 x ⋅ cos 2 x sin 2 x ​ ⋅ c o s x ​ lim x → 0 ​ 2 ⋅ c o s 2 x ⋅ t a n x 3 x ⋅ cos 2 x 1 ​ ⋅ c o s x ​ lim x → 0 ​ t a n x 3 x ​ ⋅ 2 c o s 2 2 x c o s x ​ 2 3 ​ ( lim x → 0 ​ t a n x x ​ ) ( lim x → 0 ​ c o s 2 2 x c o s x ​ ) 2 3 ​ ( 1 ) ( c o s 2 2 ( 0 ) c o s 0 ​ ) 2 3 ​ ( 1 2 1 ​ ) 2 3 ​ ​ Dengan demikian, nilai x → 0 lim ​ sin 4 x ⋅ tan x 3 x ⋅ tan 2 x ⋅ cos x ​ = 2 3 ​ . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.