Nilai x yang memenuhipertidaksamaan ∣ ∣ ​ x − 1 2 x + 10 ​ ∣ ∣ ​ ≥ 1 adalah ….

Pembahasan

Ingat salah satu sifat pertidaksamaan nilai mutlak berikut. Jika ∣ f ( x ) ∣ ≥ a , maka f ( x ) ≤ − a atau f ( x ) ≥ a . Berdasarkan sifat tersebut, nilai x yang memenuhipertidaksamaan ∣ ∣ ​ x − 1 2 x + 10 ​ ∣ ∣ ​ ≥ 1 didapat saat x − 1 2 x + 10 ​ ≤ − 1 atau x − 1 2 x + 10 ​ ≥ 1. Akan ditentukan penyelesaian dari kedua pertidaksamaan tersebut satu persatu. Untuk x − 1 2 x + 10 ​ ≤ − 1 Perhatikan perhitungan berikut! x − 1 2 x + 10 ​ x − 1 2 x + 10 ​ + 1 x − 1 2 x + 10 ​ + 1 x − 1 2 x + 10 ​ + x − 1 x − 1 ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ​ − 1 − 1 + 1 0 0 0 ​ Dapat diperhatikan bahwa pada pecahan ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ , ​ pembuat nol dari pembilangnya adalah x = − 3 dan pembuat nol dari penyebutnya adalah x = 1. Plotkan x = − 3 dan x = 1 pada garis bilangan sebagai berikut. Bulatan penuh pada x = − 3 berarti x = − 3 termasuk ke dalam penyelesaian. Sementara itu, bulatan kosong pada x = 1 berarti x = 1 tidak termasuk ke dalam penyelesaian karena ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ tidak terdefinisi untuk x = 1. Kemudian, lakukan pengecekan nilai ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ untuk x ≤ − 3 , − 3 ≤ x < 1 , dan x > 1. Untuk x ≤ − 3 , misal dipilih nilai x = − 4 , maka didapat nilai dari ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ adalah sebagai berikut. x − 1 3 x + 9 ​ ​ = = = = ​ 4 − 1 3 ( 4 ) + 9 ​ 3 12 + 9 ​ 3 21 ​ 7 ​ Didapat ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ bernilai lebih besar atau sama dengan 0 untuk x ≤ − 3. Untuk − 3 ≤ x < 1 , misal dipilih nilai x = 0 , maka didapat nilai dari ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ adalah sebagai berikut. x − 1 3 x + 9 ​ ​ = = = ​ 0 − 1 3 ( 0 ) + 9 ​ − 1 9 ​ − 9 ​ Didapat ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ bernilai kurang dari atau sama dengan 0 untuk − 3 ≤ x < 1. Untuk x > 1 , misal dipilih nilai x = 2 , maka didapat nilai dari ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ adalah sebagai berikut. x − 1 3 x + 9 ​ ​ = = = = ​ 2 − 1 3 ( 2 ) + 9 ​ 1 6 + 9 ​ 1 15 ​ 15 ​ Didapat ​ ​ x − 1 3 x + 9 ​ ​ bernilai lebih besar atau sama dengan 0 untuk x > 1. Dengan demikian, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x − 1 3 x + 9 ​ ​ ≤ ​ 0 ​ adalah − 3 ≤ x < 1. Penyelesaian tersebut dapat kita tandai sebagai penyelesaian (i), yaitu − 3 ≤ x < 1 … ( i ) . Untuk x − 1 2 x + 10 ​ ≥ 1 Perhatikan perhitungan berikut! x − 1 2 x + 10 ​ x − 1 2 x + 10 ​ − 1 x − 1 2 x + 10 ​ − 1 x − 1 2 x + 10 ​ − x − 1 x − 1 ​ x − 1 2 x + 10 − x + 1 ​ x − 1 x + 11 ​ ​ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ​ 1 1 − 1 0 0 0 0 ​ Dapat diperhatikan bahwa pada pecahan ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ , pembuat nol dari pembilangnya adalah x = − 11 dan pembuat nol dari penyebutnya adalah x = 1. Plotkan x = − 11 dan x = 1 pada garis bilangan sebagai berikut. Bulatan penuh pada x = − 11 berarti x = − 11 termasuk ke dalam penyelesaian. Sementara itu, bulatan kosong pada x = 1 berarti x = 1 tidak termasuk ke dalam penyelesaian karena ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ tidak terdefinisi untuk x = 1. Kemudian, lakukan pengecekan nilai ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ untuk x ≤ − 11 , − 11 ≤ x < 1 , dan x > 1. Untuk x ≤ − 11 , misal dipilih nilai x = − 12 , maka didapat nilai dari ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ adalah sebagai berikut. x − 1 x + 11 ​ ​ = = = ​ − 12 − 1 − 12 + 11 ​ − 13 − 1 ​ 13 1 ​ ​ Didapat ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ bernilai lebih besar atau sama dengan 0 untuk x ≤ − 11. Untuk − 11 ≤ x < 1 , misal dipilih nilai x = 0 , maka didapat nilai dari ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ adalah sebagai berikut. x − 1 x + 11 ​ ​ = = = ​ 0 − 1 0 + 11 ​ − 1 11 ​ − 11 ​ Didapat ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ bernilai kurang dari atau sama dengan 0 untuk − 11 ≤ x < 1. Untuk x > 1 , misal dipilih nilai x = 2 , maka didapat nilai dari ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ adalah sebagai berikut. x − 1 x + 11 ​ ​ = = = ​ 2 − 1 2 + 11 ​ 1 13 ​ 13 ​ Didapat ​ ​ x − 1 x + 11 ​ ​ bernilai lebih besar atau sama dengan 0 untuk x > 1. Dengan demikian, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x − 1 x + 11 ​ ​ ≥ ​ 0 ​ adalah x ≤ − 11 atau x > 1. Penyelesaian tersebut dapat kita tandai sebagai penyelesaian (ii), yaitu x ≤ − 11 atau x > 1 … ( ii ) . Selanjutnya, gabung penyelesaian (i) dan (ii) untuk mendapatkan penyelesaian akhir dari pertidaksamaan ∣ ∣ ​ x − 1 2 x + 10 ​ ∣ ∣ ​ ≥ 1. Perhatikan garis bilangan berikut! Dapat diperhatikan bahwa hasil gabungan dari penyelesaian (i)dan (ii)adalah x ≤ − 11 atau − 3 ≤ x < 1 atau x > 1. Jadi, jawaban yang tepat adalah B.