Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x 2 − 2 dan garis y − x − 4 = 0 adalah...

Pembahasan

Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva didefinisikan oleh L = ∫ a b ​ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x dengan f ( x ) adalah kurva yang terletak di atas, g ( x ) adalah kurva yang terletak di bawah, serta x = a dan x = b merupakan batas daerah arsirannya. Akan ditentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x 2 − 2 dan garis y − x − 4 = 0 . Terlebih dahulu gambarkan kurva dan garis tersebut, diperoleh: Kemudian tentukan batas arsiran dengan mencari akar-akar dari persamaan tersebut, diperoleh. y 1 ​ y 2 ​ y 1 ​ x 2 − 2 x 2 − 2 − x − 4 x 2 − x − 6 ( x − 3 ) ( x + 2 ) x − 3 = 0 x = 3 ​ = = = = = = = ​ x 2 − 2 x + 4 y 2 ​ x + 4 0 0 0 x + 2 = 0 x = − 2 ​ Sehingga diperoleh batas-batasnya adalah a = − 2 dan b = 3 . Karena garis y − x − 4 = 0 terletak di atas kurva y = x 2 − 2 , maka luas daerah tersebut dapat dihitung sebagai berikut. L ​ = = = = = = = = = = = ​ ∫ a b ​ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ − 2 3 ​ ( ( x + 4 ) − ( x 2 − 2 ) ) d x ∫ − 2 3 ​ ( − x 2 + x + 6 ) d x [ − 3 1 ​ x 3 + 2 1 ​ x 2 + 6 x ] − 2 3 ​ [ − 3 1 ​ ( 3 ) 3 + 2 1 ​ ( 3 ) 2 + 6 ( 3 ) ] − [ − 3 1 ​ ( − 2 ) 3 + 2 1 ​ ( − 2 ) 2 + 6 ( − 2 ) ] [ − 3 27 ​ + 2 9 ​ + 18 ] − [ 3 8 ​ + 2 4 ​ − 12 ] [ 6 − 54 + 27 + 108 ​ ] − [ 6 16 + 12 − 72 ​ ] [ 6 81 ​ ] − [ 6 − 44 ​ ] 6 81 + 44 ​ 6 125 ​ 20 6 5 ​ ​ Sehingga diperoleh luas daerah tersebut adalah . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.