Lingkaran berpusat di titik potong garis 5 x + 2 y = 9 dan 7 x − 3 y = 1 bersinggungan dengan garis y = − 3 .Persamaan lingkarannya adalah ...

Pembahasan

Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah A. Ingat! Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Rumus nilai diskriminan: D = b 2 − 4 a c Cari terlebih dahulu koordinat titik pusat lingkaran dengan cara eliminasi dan subtitusi. Pada soal diketahui bahwa lingkaranberpusat di titik potonggaris 5 x + 2 y = 9 dan 7 x − 3 y = 1 , sehingga diperoleh titik pusat lingkaran sebagai berikut: Eliminasi y dari kedua persamaan, diperoleh: 5 x 7 x ​ + − ​ 2 y 3 y ​ = = ​ 9 1 ​ ∣ × 3∣ ∣ × 2∣ ​ 15 x 14 x 29 x ​ + − ​ 6 y 6 y x x ​ = = = = = ​ 27 2 29 29 29 ​ 1 ​ − ​ ​ Subtitusi x = 1 ke persamaan 5 x + 2 y = 9 , diperoleh: 5 x + 2 y 5 ( 1 ) + 2 y 5 + 2 y 2 y 2 y y y ​ = = = = = = = ​ 9 9 9 9 − 5 4 2 4 ​ 2 ​ Jadi, diperoleh titik pusat ( 1 , 2 ) , sehingga persamaan lingkarannya sebagai berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = r 2 Diketahui lingkaran bersinggung di y = − 3 , maka subtitusi persamaan garis tersebut ke persamaan linngkaran di atas, diperoleh: ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 ( x − 1 ) 2 + ( − 3 − 2 ) 2 ( x − 1 ) 2 + ( − 5 ) 2 x 2 − 2 x + 1 + 25 − r 2 x 2 − 2 x + 26 − r 2 ​ = = = = = ​ r 2 r 2 r 2 0 0 ​ Dari persamaan kuadrat di atas diketahui a = 1 , b = − 2 , dan c = 26 − r 2 , sehingga nilai diskriminannya adalah sebagai berikut: D 0 0 0 0 25 ​ = = = = = = ​ b 2 − 4 a c ( − 2 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 26 − r 2 ) 4 − 104 + 4 r 2 → ( m a s i n g − m a s i n g d i b a g i 4 ) 1 − 26 + r 2 − 25 + r 2 r 2 ​ Jadi diperoleh r 2 ​ = ​ 25 ​ . Subtitusi r 2 = 25 ke persamaan ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = r 2 , sehingga diperoleh: ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = r 2 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25 Jadi persamaan lingkarannya adalah ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.