Pertanyaan

Jika cos ( 2 1 θ ) = 2 x x + 1 , nilai dari x 2 − x 2 1 adalah ....

Jika $cos (\frac{1}{2} θ) = \frac{x + 1}{2 x}$ , nilai dari $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}$ adalah ....

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari x 2 − x 2 1 = sin 2 θ + tan 2 θ .

nilai dari

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = sin^{2} θ + tan^{2} θ

Pembahasan

Ingat kembali sudut rangkap pada rumus trigonometri berikut. cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 Sehingga diperoleh : cos 2 θ cos 2 ( 2 1 θ ) cos θ cos θ = = = = = = = = 2 cos 2 θ − 1 2 cos 2 ( 2 1 θ ) − 1 2 cos 2 ( 2 1 θ ) − 1 2 ⋅ ( cos 2 1 θ ) 2 − 1 2 ( 2 x x + 1 ) − 1 2 x 2 x + 2 − 2 x 2 x 2 x 1 Jika cos θ = x 1 maka x = cos θ 1 = sec θ . Dengan mengaplikasikan identitas trigonometri tan 2 θ + 1 = sec 2 θ dan sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , sehingga nilai dari x 2 − x 2 1 diperoleh : x 2 − x 2 1 = = = = sec 2 θ − cos 2 θ tan 2 θ + 1 − ( 1 − sin 2 θ ) tan 2 θ + 1 − 1 + sin 2 θ sin 2 θ + tan 2 θ Dengan demikian, nilai dari x 2 − x 2 1 = sin 2 θ + tan 2 θ .

Ingat kembali sudut rangkap pada rumus trigonometri berikut.

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$

Sehingga diperoleh :

$cos 2 θ cos 2 (\frac{1}{2} θ) cos θ cos θ = = = = = = = = 2 cos^{2} θ - 1 2 cos^{2} (\frac{1}{2} θ) - 1 2 cos^{2} (\frac{1}{2} θ) - 1 2 \cdot (cos \frac{1}{2} θ)^{2} - 1 2 (\frac{x + 1}{2 x}) - 1 \frac{2 x + 2 - 2 x}{2 x} \frac{2}{2 x} \frac{1}{x}$

Jika $cos θ = \frac{1}{x}$ maka $x = \frac{1}{cos θ} = sec θ$ .

Dengan mengaplikasikan identitas trigonometri $tan^{2} θ + 1 = sec^{2} θ$ dan $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ , sehingga nilai dari $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}$ diperoleh :