Jika α dan β merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2−3x−4=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α−3) dan (β−3) adalah....

Pertanyaan

Jika $\style{font-size:14px}\alpha$ dan $\style{font-size:14px}\beta$ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $\style{font-size:14px}{2x^2-3x-4=0}$ , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\style{font-size:14px}{\left(\alpha-3\right)}$ dan $\style{font-size:14px}{\left(\beta-3\right)}$ adalah....

E. Safitri

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\style{font-size:14px}{\left(\alpha-3\right)}$ dan $\style{font-size:14px}{\left(\beta-3\right)}$ adalah $2x^2+9x+5=0$ .

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat $2x^2-3x-4=0$ dengan akar-akrnya adalah $\alpha\;\text{dan}\;\beta$ . Ingat pada persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka berlaku:

$\begin{array}{rcl}x_1+x_2&=&-\frac ba\\x_1\cdot x_2&=&\frac ca\end{array}$

Pada persamaan $2x^2-3x-4=0$ , nilai $a=2,\;b=-3,\;\text{dan}\;c=-4$ sehingga diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell alpha plus beta end cell equals cell negative b over a end cell row blank equals cell negative fraction numerator negative 3 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 3 over 2 end cell row cell alpha times beta end cell equals cell c over a end cell row blank equals cell fraction numerator negative 4 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell negative 2 end cell end table$

Maka

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses alpha minus 3 close parentheses plus left parenthesis beta minus 3 right parenthesis end cell equals cell alpha plus beta minus 6 end cell row blank equals cell 3 over 2 minus 6 end cell row blank equals cell 3 over 2 minus 12 over 2 end cell row blank equals cell negative 9 over 2 end cell row cell open parentheses alpha minus 3 close parentheses open parentheses beta minus 3 close parentheses end cell equals cell alpha beta minus 3 alpha minus 3 beta plus 9 end cell row blank equals cell alpha beta minus 3 left parenthesis alpha plus beta right parenthesis plus 9 end cell row blank equals cell negative 2 minus 3 left parenthesis 3 over 2 right parenthesis plus 9 end cell row blank equals cell negative 2 minus 9 over 2 plus 9 end cell row blank equals cell fraction numerator negative 4 minus 9 plus 18 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 5 over 2 end cell end table$

Jika terdapat persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan akar-akarnya $x_1\;\text{dan}\;x_2$ maka persamaan kuadratnya adalah

$x^2-(x_1+x_2)x+\left(x_1\cdot x_2\right)=0$

Sehingga diperoleh

$\begin{array}{rcl}{x^2-(\left(\alpha-3\right)+\left(\beta-3\right))x+\left(\left(\alpha-3\right)\cdot\left(\beta-3\right)\right)}&=&0\\{x^2-(-\frac92)x+\frac52}&=&0\\x^2+\frac92x+\frac52&=&0\\\left(x^2+\frac92x+\frac52\right){\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\cdot}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}&=&0{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\cdot}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}2}\\2x^2+9x+5&=&0\end{array}$

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\style{font-size:14px}{\left(\alpha-3\right)}$ dan $\style{font-size:14px}{\left(\beta-3\right)}$ adalah $2x^2+9x+5=0$ .