Pertanyaan

Jika dan b bilangan real, buktikan bahwa ekspresi x 2 + ( a − b ) x + a 2 + ab + b 2 selalu bernilai positif.

Jika $a$ dan $b$ bilangan real, buktikan bahwa ekspresi $x^{2} + (a - b) x + a^{2} + ab + b^{2}$ selalu bernilai positif.

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

karena dan , maka ekspresi selalu bernilai positif.

karena

open parentheses a equals 1 greater than 0 close parentheses

dan

, maka ekspresi x squared plus left parenthesis a minus b right parenthesis x plus a squared plus a b plus b squared

selalu bernilai positif.

Pembahasan

Untuk membuktikan fungsi selalu bernilai positif atau definit positif, maka kita perhatikan: Koefisien harus lebih besar dari 0 . Diskriminan fungsi harus lebih kecil dari 0 . Perhatikan bahwa untuk dan bilangan real, maka , sehingga . Jadi karena dan , maka ekspresi selalu bernilai positif.

Untuk membuktikan fungsi x squared plus left parenthesis a minus b right parenthesis x plus a squared plus a b plus b squared selalu bernilai positif atau definit positif, maka kita perhatikan:

Koefisien harus lebih besar dari 0 .
Diskriminan fungsi harus lebih kecil dari 0 .

Perhatikan bahwa untuk dan bilangan real, maka open parentheses a minus b close parentheses squared greater than 0 , sehingga D less than 0 .

Jadi karena open parentheses a equals 1 greater than 0 close parentheses dan D less than 0 , maka ekspresi x squared plus left parenthesis a minus b right parenthesis x plus a squared plus a b plus b squared selalu bernilai positif.