Jika f adalah fungsi kuadrat dengan f ( 0 ) = 4 dan x → − 2 lim ​ x + 2 f ( x ) ​ = 0 , maka f ( 2 ) = ...

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah C. Ingat bahwa fungsi kuadrat adalah f ( x ) = a x 2 + b x + c . dan limit bentuk tak tentu adalah x → a lim ​ g ( x ) f ( x ) ​ = g ( a ) f ( a ) ​ = 0 0 ​ . dan ingat aturan L'Hopital x → a lim ​ g ( x ) f ( x ) ​ = x → a lim ​ g ′ ( x ) f ′ ( x ) ​ , dengan syarat x → a lim ​ g ′ ( x ) f ′ ( x ) ​ ada. Sehingga, diketahui fungsi kuadrat f ( x ) = a x 2 + b x + c . Nilai f ( 0 ) = 4 , maka f ( x ) f ( 0 ) a ( 0 ) 2 + b ( 0 ) + c c ​ = = = = ​ a x 2 + b x + c 4 4 4 ​ Karena limit mempunyai hasil maka dapat kita misalkan bentuk limit adalah tak tentu ( 0 0 ​ ) . Maka x → − 2 lim ​ x + 2 f ( x ) ​ = 0 Jadi f ( − 2 ) = 0 . f ( x ) f ( − 2 ) a ( − 2 ) 2 + b ( − 2 ) + c 4 a − 2 b + 4 4 a − 2 b 2 a − b ​ = = = = = = ​ a x 2 + b x + c 0 0 0 − 4 − 2 ​ Selanjutnya kita gunakan aturan L'Hopital x → − 2 lim ​ x + 2 f ( x ) ​ = x → − 2 lim ​ 1 f ′ ( x ) ​ Karena x → − 2 lim ​ x + 2 f ( x ) ​ = 0 , maka x → − 2 lim ​ 1 f ′ ( x ) ​ = 0 akibatnya, f ′ ( − 2 ) = 0 . Jadi f ( x ) f ′ ( x ) f ′ ( − 2 ) 2 a ( − 2 ) + b − 4 a + b b ​ = = = = = = ​ a x 2 + b x + c 2 a x + b 0 0 0 4 a ​ Substitusi nilai b = 4 a ke 2 a − b = − 2 . Jadi, 2 a − b 2 a − ( 4 a ) − 2 a a a ​ = = = = = ​ − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 ​ 1 ​ substitusi nilai a = 1 ke b = 4 a b b ​ = = = ​ 4 a 4 ( 1 ) 4 ​ Jadi didapat fungsi kuadratnya adalah f ( x ) ​ = = = ​ a x 2 + b x + c ( 1 ) x 2 + ( 4 ) x + ( 4 ) x 2 + 4 x + 4 ​ Sehingga, nilai dari f ( 2 ) adalah f ( x ) f ( 2 ) ​ = = = = ​ x 2 + 4 x + 4 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) + 4 4 + 8 + 4 16 ​ Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.