Pertanyaan

Hitunglah cos 2 tan 1 + cos 4 tan 2 + ... + cos 2 n tan 2 n − 1

Hitunglah

$\frac{tan 1}{cos 2} + \frac{tan 2}{cos 4} + ... + \frac{tan 2 ^{n - 1}}{cos 2 ^{n}}$ $\;\;$

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

cos 2 tan 1 + cos 4 tan 2 + ... + cos 2 n tan 2 n − 1 = − 0 , 0174 .

\frac{tan 1}{cos 2} + \frac{tan 2}{cos 4} + ... + \frac{tan 2 ^{n - 1}}{cos 2 ^{n}} = - 0, 0174

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Hubungan tan dengan sin dan cos tan A = cos A sin A Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (sin) sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut Perhatikan bahwa tan 2 A − tan A = = = = = c o s 2 A s i n 2 A − c o s A s i n A c o s A c o s 2 A s i n 2 A c o s A − c o s 2 A s i n A c o s A c o s 2 A s i n ( 2 A − A ) c o s A c o s 2 A s i n A c o s 2 A t a n A Sehingga, cos 2 tan 1 + cos 4 tan 2 + ... + cos 2 n tan 2 n − 1 = [ ( tan 2 − tan 1 ) + ( tan 4 − tan 2 ) + ( tan 8 − tan 4 ) + ... + ( tan 2 n − tan 2 n − 1 ) ] = [ − tan 1 + tan 2 − tan 2 + tan 4 − tan 4 + tan 8 − ... − tan 2 n − 1 + tan 2 n ] = tan 2 n − tan 1 Menghitung nilai tan 2 n n merupakan bilangan bulat, semakin n besar atau tak terhingga maka nilai tan adalah 0 Sehingga, tan 2 n − tan 1 = 0 − 0 , 0174 = − 0 , 0174 Dengan demikian, cos 2 tan 1 + cos 4 tan 2 + ... + cos 2 n tan 2 n − 1 = − 0 , 0174 .

Ingat,

Hubungan tan dengan sin dan cos

$tan A = \frac{sin A}{cos A}$

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (sin)

$sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Perhatikan bahwa

$tan 2 A - tan A = = = = = \frac{s i n 2 A}{c o s 2 A} - \frac{s i n A}{c o s A} \frac{s i n 2 A c o s A - c o s 2 A s i n A}{c o s A c o s 2 A} \frac{s i n ( 2 A - A )}{c o s A c o s 2 A} \frac{s i n A}{c o s A c o s 2 A} \frac{t a n A}{c o s 2 A}$

Sehingga,

$\frac{tan 1}{cos 2} + \frac{tan 2}{cos 4} + ... + \frac{tan 2 ^{n - 1}}{cos 2 ^{n}} = [(tan 2 - tan 1) + (tan 4 - tan 2) + (tan 8 - tan 4) + ... + (tan 2^{n} - tan 2^{n - 1})] = [- tan 1 + tan 2 - tan 2 + tan 4 - tan 4 + tan 8 - ... - tan 2^{n - 1} + tan 2^{n}] = tan 2^{n} - tan 1$