Pertanyaan

Hitunglah nilai dari: x → 1 lim 1 − x 1 [ 1 − x 1 − x 20 − 20 ] .

Hitunglah nilai dari:

$x \to 1 lim \frac{1}{1 - x} [\frac{1 - x ^{20}}{1 - x} - 20]$ .

H. Firmansyah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh x → 1 lim 1 − x 1 [ 1 − x 1 − x 20 − 20 ] = − 190 .

diperoleh

x \to 1 lim \frac{1}{1 - x} [\frac{1 - x ^{20}}{1 - x} - 20] = - 190

Pembahasan

Langkah pertama untuk menyelesaikan limit diatas dengan mensubstitusikan x = 1 ke bentuk aljabarnya, diperoleh lim x → 1 1 − x 1 [ 1 − x 1 − x 20 − 20 ] = = = = 1 − 1 1 [ 1 − 1 1 − 1 20 − 20 ] 0 1 ( − 20 ) − 0 20 − ∞ Karena merupakan salah satu bentuk tentu, maka dapat dicari nilainya dengan cara lain Perhatikan = = = lim x → 1 1 − x 1 [ 1 − x 1 − x 20 − 20 ] ÷ lim x → 1 ( − 1 ) ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x 18 + 2 x 17 + 3 x 16 + 4 x 15 + 5 x 14 + 6 x 13 + 7 x 12 + 8 x 11 + 9 x 10 + 10 x 9 + 11 x 8 + 12 x 7 + 13 x 6 + 14 x 5 + 15 x 4 + 16 x 3 + 17 x 2 + 18 x + 19 ) − ( 1 18 + 2 ( 1 ) 17 + 3 ( 1 ) 16 + 4 ( 1 ) 15 + 5 ( 1 ) 14 + 6 ( 1 ) 13 + 7 ( 1 ) 12 + 8 ( 1 ) 11 + 9 ( 1 ) 10 + 10 ( 1 ) 9 + 11 ( 1 ) 8 + 12 ( 1 ) 7 + 13 ( 1 ) 6 + 14 ( 1 ) 5 + 15 ( 1 ) 4 + 16 ( 1 ) 3 + 17 ( 1 ) 2 + 18 ( 1 ) + 19 ) − 190 Dengan demikian, diperoleh x → 1 lim 1 − x 1 [ 1 − x 1 − x 20 − 20 ] = − 190 .

Langkah pertama untuk menyelesaikan limit diatas dengan mensubstitusikan $x = 1$ ke bentuk aljabarnya, diperoleh

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} [\frac{1 - x ^{20}}{1 - x} - 20] = = = = \frac{1}{1 - 1} [\frac{1 - 1 ^{20}}{1 - 1} - 20] \frac{1}{0} (- 20) - \frac{20}{0} - \infty$

Karena merupakan salah satu bentuk tentu, maka dapat dicari nilainya dengan cara lain

Perhatikan

$= = = lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} [\frac{1 - x ^{20}}{1 - x} - 20] \div lim_{x \to 1} \frac{( x - 1 ) ( x ^{18} + 2 x ^{17} + 3 x ^{16} + 4 x ^{15} + 5 x ^{14} + 6 x ^{13} + 7 x ^{12} + 8 x ^{11} + 9 x ^{10} + 10 x ^{9} + 11 x ^{8} + 12 x ^{7} + 13 x ^{6} + 14 x ^{5} + 15 x ^{4} + 16 x ^{3} + 17 x ^{2} + 18 x + 19 )}{( - 1 ) ( x - 1 )} - (1^{18} + 2 (1)^{17} + 3 (1)^{16} + 4 (1)^{15} + 5 (1)^{14} + 6 (1)^{13} + 7 (1)^{12} + 8 (1)^{11} + 9 (1)^{10} + 10 (1)^{9} + 11 (1)^{8} + 12 (1)^{7} + 13 (1)^{6} + 14 (1)^{5} + 15 (1)^{4} + 16 (1)^{3} + 17 (1)^{2} + 18 (1) + 19) - 190$