Iklan

Iklan

Pertanyaan

Fungsi f dan g saling invers apabila f ∘ g = g ∘ f = I dengan I adalah fungsi identitas I ( x ) = x . Dalam hal ini dilambangkan g = f − 1 , yaitu merupakan fungsi invers dari .Misalkan f ( x ) = c x + d a x + b ​ . 1. Tunjukkan g ( x ) = c x − a − d x + b ​ merupakan invers fungsi . 2. Tunjukkan f ∘ g = I dan g ∘ f = I .

Fungsi  dan  saling invers apabila  dengan  adalah fungsi identitas . Dalam hal ini dilambangkan , yaitu begin mathsize 14px style g end style merupakan fungsi invers dari begin mathsize 14px style f end style. Misalkan 

1. Tunjukkan  merupakan invers fungsi begin mathsize 14px style f end style.

2. Tunjukkan  dan .

Iklan

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa fungsi dan saling invers.

terbukti bahwa fungsi begin mathsize 14px style f end style dan begin mathsize 14px style g end style saling invers. 

Iklan

Pembahasan

1. Diketahui akan dibuktikan merupakan invers fungsi .Misalkan ,maka invers dari fungsi f dapat ditentukan dengan perhitungan berikut. f ( x ) y y ( c x + d ) c x y + d y c x y − a x x ( cy − a ) x ​ = = = = = = = ​ c x + d a x + b ​ c x + d a x + b ​ a x + b a x + b − d y + b − d y + b cy − a − d y + b ​ ​ Karena y = f ( x ) , maka x = f − 1 ( y ) sehingga x f − 1 ( y ) f − 1 ( x ) f − 1 ( x ) ​ = = = = ​ cy − a − d y + b ​ cy − a − d y + b ​ c x − a − d x + b ​ g ( x ) ​ Dengan demikian terbukti bahwa invers dari fungsi . 2. Akan ditunjukkan , berdasarkan konsep komposisi fungsi maka: Karena , maka terbukti bahwa . Akan ditunjukkan berdasarkan konsep komposisi fungsi maka: Karena ,maka terbukti bahwa . Dengan demikian, terbukti bahwa fungsi dan saling invers.

1. Diketahui begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator a x plus b over denominator c x plus d end fraction end style akan dibuktikan begin mathsize 14px style g open parentheses x close parentheses equals fraction numerator negative d x plus b over denominator c x minus a end fraction end style merupakan invers fungsi begin mathsize 14px style f end style.  Misalkan begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals y end style, maka invers dari fungsi  dapat ditentukan dengan perhitungan berikut.

Karena , maka  sehingga

 

Dengan demikian terbukti bahwa begin mathsize 14px style g open parentheses x close parentheses end style invers dari fungsi begin mathsize 14px style f end style

2. Akan ditunjukkan begin mathsize 14px style f ring operator g equals I end style, berdasarkan konsep komposisi fungsi maka:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses f ring operator g close parentheses open parentheses x close parentheses end cell equals cell f open parentheses g open parentheses x close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell f open parentheses fraction numerator negative d x plus b over denominator c x minus a end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator a open parentheses fraction numerator negative d x plus b over denominator c x minus a end fraction close parentheses plus b over denominator c open parentheses fraction numerator negative d x plus b over denominator c x minus a end fraction close parentheses plus d end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator negative a d x plus a b over denominator c x minus a end fraction end style plus begin display style fraction numerator c b x minus a b over denominator c x minus a end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator negative d c x plus c b over denominator c x minus a end fraction end style plus begin display style fraction numerator d c x minus a d over denominator c x minus a end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator negative a d x plus c b x over denominator c x minus a end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator c b minus a d over denominator c x minus a end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative a d x plus c b x over denominator c b minus a d end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator x open parentheses c b minus a d close parentheses over denominator c b minus a d end fraction end cell row blank equals x end table end style

Karena begin mathsize 14px style I open parentheses x close parentheses equals x end style, maka terbukti bahwa begin mathsize 14px style f ring operator g equals I end style.

Akan ditunjukkan begin mathsize 14px style g ring operator f equals I end style berdasarkan konsep komposisi fungsi maka:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell g ring operator f open parentheses x close parentheses end cell equals cell g open parentheses f open parentheses x close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell g open parentheses fraction numerator a x plus b over denominator c x plus d end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator negative d open parentheses fraction numerator a x plus b over denominator c x plus d end fraction close parentheses plus b over denominator c open parentheses fraction numerator a x plus b over denominator c x plus d end fraction close parentheses minus a end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator negative a d x minus b d over denominator c x plus d end fraction end style plus begin display style fraction numerator b c x plus b d over denominator c x plus d end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator a c x plus b c over denominator c x plus d end fraction end style plus begin display style fraction numerator negative a c x minus a d over denominator c x plus d end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator negative a d x plus b c x over denominator c x plus d end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator b c minus a d over denominator c x plus d end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator x open parentheses b c minus a d close parentheses over denominator b c minus a d end fraction end cell row blank equals x end table end style

Karena begin mathsize 14px style I open parentheses x close parentheses equals x end style, maka terbukti bahwa undefined

Dengan demikian, terbukti bahwa fungsi begin mathsize 14px style f end style dan begin mathsize 14px style g end style saling invers. 

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Jika f ( x ) = x + 2 dan g ( x ) = x + 2 x ​ , maka nilai ( g − 1 ∘ f ) ( 1 ) adalah ....

1

1.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

[email protected]

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia