Pertanyaan

Diketahui setengah lingkaran di bawah ini dengan AB sebagai diameter dan O titik pusat lingkaran. Jika AC = 12 dan CP = 9 , maka luas segitiga CPO adalah...

Diketahui setengah lingkaran di bawah ini dengan $AB$ sebagai diameter dan $O$ titik pusat lingkaran.

Jika $AC = 12 dan CP = 9$ , maka luas segitiga $CPO$ adalah...

15 $\;$
18 $\;$
21 $\;$
27 $\;$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut! Selanjutnya, perhatikan sudut-sudut pada segitiga ABC dan OBP. m ∠ ABC = m ∠ OBP ( berimpit ) m ∠ ACB = 2 1 ⋅ m ∠ AOB = 2 1 ⋅ 18 0 ∘ = 9 0 ∘ dan dapat kita asumsikan garis OB tegak lurus dengan garisOPsehingga m ∠ POB = 9 0 ∘ . Oleh karena itu, m ∠ ACB = m ∠ POB ( siku − siku ) . m ∠ BAC = m ∠ BPO ( 18 0 ∘ − besar dua sudut lainnya ) Karena sudut-sudut pada segitiga ABC sama besar dengan sudut-sudut pada segitiga OBP, maka segitiga ABC sebangun dengan segitiga OBP. Akibatnya, sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut akan memiliki perbandingan yang senilai, yaitu sebagai berikut. AB PB = BC OB = AC OP 2 r a = a + 9 r = 12 OP Dengan mengambilperbandingan 2 r a = a + 9 r , didapat persamaan sebagai berikut. 2 r a a ( a + 9 ) a 2 + 9 a = = = a + 9 r r ⋅ 2 r 2 r 2 … ( i ) Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC (siku-siku di C), didapat persamaan sebagai berikut. AB 2 ( 2 r ) 2 4 r 2 r 2 = = = = AC 2 + BC 2 1 2 2 + ( 9 + a ) 2 144 + ( 9 + a ) 2 4 144 + ( 9 + a ) 2 … ( ii ) Substitusikan persamaan ( ii ) ke persamaan ( i ) sehingga didapat perhitungan sebagai berikut. a 2 + 9 a a 2 + 9 a 2 ( a 2 + 9 a ) 2 a 2 + 18 a 2 a 2 + 18 a − a 2 − 18 a a 2 a a = = = = = = = = 4 2 ( 144 + ( 9 + a ) 2 ) 2 144 + ( 9 + a ) 2 144 + 81 + 18 a + a 2 a 2 + 18 a + 225 225 225 ± 225 ± 15 Karena nilai tidak mungkin negatif, maka dipilih a = 15 . Kemudian, substitusikannilai kepersamaan (i) untuk mendapatkan nilai r . Selanjutnya, luas segitiga BOC adalah setengah dari luas segitiga ABC , sehingga Luas BOC = = = 2 1 × Luas ABC 2 1 × 2 12 × 24 72 satuan luas Luas segitiga CPO dapat ditentukan dengan perbandingan sebagai berikut. Luas BOC Luas CPO Luas CPO Luas CPO = = = = = BC PC BC PC × Luas BOC 24 9 × 72 1 24 9 × 72 3 27 satuan luas Dengan demikian, diperolehluas segitiga CPO adalah 27 satuan luas . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan gambar berikut!

Selanjutnya, perhatikan sudut-sudut pada segitiga ABC dan OBP.

$m ∠ ABC = m ∠ OBP$ $(berimpit)$
$m ∠ ACB = \frac{1}{2} \cdot m ∠ AOB = \frac{1}{2} \cdot 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ dan dapat kita asumsikan garis OB tegak lurus dengan garis OP sehingga $m ∠ POB = 9 0^{\circ}$ . Oleh karena itu, $m ∠ ACB = m ∠ POB (siku - siku)$ .
$m ∠ BAC = m ∠ BPO$ $(18 0^{\circ} - besar dua sudut lainnya)$

Karena sudut-sudut pada segitiga ABC sama besar dengan sudut-sudut pada segitiga OBP, maka segitiga ABC sebangun dengan segitiga OBP. Akibatnya, sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut akan memiliki perbandingan yang senilai, yaitu sebagai berikut.

$\frac{PB}{AB} = \frac{OB}{BC} = \frac{OP}{AC} \frac{a}{2 r} = \frac{r}{a + 9} = \frac{OP}{12}$

Dengan mengambil perbandingan $\frac{a}{2 r} = \frac{r}{a + 9}$ , didapat persamaan sebagai berikut.

$\frac{a}{2 r} a (a + 9) a^{2} + 9 a = = = \frac{r}{a + 9} r \cdot 2 r 2 r^{2} \dots (i)$

Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $ABC$ (siku-siku di C), didapat persamaan sebagai berikut.

$AB^{2} (2 r)^{2} 4 r^{2} r^{2} = = = = AC^{2} + BC^{2} 1 2^{2} + (9 + a)^{2} 144 + (9 + a)^{2} \frac{144 + ( 9 + a ) ^{2}}{4} \dots (ii)$

Substitusikan persamaan $(ii)$ ke persamaan $(i)$ sehingga didapat perhitungan sebagai berikut.

$a^{2} + 9 a a^{2} + 9 a 2 (a^{2} + 9 a) 2 a^{2} + 18 a 2 a^{2} + 18 a - a^{2} - 18 a a^{2} a a = = = = = = = = \frac{2 ( 144 + ( 9 + a ) ^{2} )}{4} \frac{144 + ( 9 + a ) ^{2}}{2} 144 + 81 + 18 a + a^{2} a^{2} + 18 a + 225 225225 \pm 225 \pm 15$

Karena nilai $a$ tidak mungkin negatif, maka dipilih $a = 15$ . Kemudian, substitusikan nilai $a$ ke persamaan (i) untuk mendapatkan nilai $r$ .

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 15 squared plus 9 times 15 end cell equals cell 2 r squared end cell row 360 equals cell 2 r squared end cell row cell r squared end cell equals 180 row r equals cell square root of 180 equals 6 square root of 5 end cell end table end style

Selanjutnya, luas segitiga $BOC$ adalah setengah dari luas segitiga $ABC$ , sehingga

$Luas BOC = = = \frac{1}{2} \times Luas ABC \frac{1}{2} \times \frac{12 \times 24}{2} 72 satuan luas$

Luas segitiga $CPO$ dapat ditentukan dengan perbandingan sebagai berikut.

$\frac{Luas CPO}{Luas BOC} Luas CPO Luas CPO = = = = = \frac{PC}{BC} \frac{PC}{BC} \times Luas BOC \frac{9}{24} \times 72 \frac{9}{_{1} 24} \times 72^{3} 27 satuan luas$

Dengan demikian, diperoleh luas segitiga $CPO$ adalah $27 satuan luas$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (7 rating)

Archivara Catriona

Pembahasan lengkap banget Ini yang aku cari! Mudah dimengerti Bantu banget Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Perhatikan gambar berikut ! Jika diketahui panjang BC = 4,5 cm dan CD = 8 cm. Tentukan: d. Luas segitiga ABD !

0.0

Jawaban terverifikasi

Pada segitiga ABC (siku-siku di C ), titik Q pada AC , titik P pada AB , dan PQ sejajar BC . Jika panjang sisi AQ = 3 cm ; AP = 5 cm ; BQ = 8 cm ; Maka luas segitiga ABC adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Segiempat ABCD adalah trapesium dengan sisi sejajar BC dan AD serta AB tegak lurus AD. Diketahui BC = 10 , A D = 15 dan A B = 12. Titik E adalah titik potong perpanjangan garis AC yang melalui D serta...

104

4.7

Jawaban terverifikasi

Pada segitiga ABC (siku-siku di C ), titik Q pada AC , titik P pada AB , dan PQ sejajar BC . Jika panjang sisi AQ = 3 cm ; AP = 5 cm ; BQ = 8 cm ; Maka luas segitiga ABC adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut ! Jika diketahui panjang BC = 4,5 cm dan CD = 8 cm. Tentukan: d. Luas segitiga ABD !

0.0

Jawaban terverifikasi