Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AC=5 cm dan panjang sisi AB=7 cm. Titik D terletak pada sisi AB sehingga garis CD tegak lurus pada garis AB dengan panjang CD=4 cm. Jika α menyatakan sudut BAC dan β menyatakan sudut ABC, tentukan nilai sin (α+β)+tan (α−β).

Pertanyaan

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi $\mathrm{AC}=5\;\mathrm{cm}$ dan panjang sisi $\mathrm{AB}=7\;\mathrm{cm}$ . Titik D terletak pada sisi AB sehingga garis CD tegak lurus pada garis AB dengan panjang $\mathrm{CD}=4\;\mathrm{cm}$ . Jika $\alpha$ menyatakan sudut BAC dan $\beta$ menyatakan sudut ABC, tentukan nilai $\sin\;(\alpha+\beta)+\tan\;(\alpha-\beta)$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai $\sin\;(\alpha+\beta)+\tan\;(\alpha-\beta)$ adalah $\frac7{10}\sqrt2+\frac17$ .

Pembahasan

Iluastrasi segitiga ABC yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut:

Sebelum menentukan perbandingan trigonometri, pertama perlu dicari terlebih dahulu panjang setiap sisi dari segitiga ACD dan segitiga BCD. Panjang AD dapat diperoleh dari teorema pythagoras sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{AD}&=&\sqrt{\mathrm{AC}^2-\mathrm{CD}^2}\\&=&\sqrt{5^2-4^2}\\&=&\sqrt{25-16}\\&=&\sqrt9\\&=&3\;\mathrm{cm}\end{array}$

Panjang BD dapat diperoleh dari perhitungan berikut:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{BD}&=&7-\mathrm{AD}\\&=&7-3\\&=&4\;\mathrm{cm}\end{array}$

Panjang BC dapat diperoleh dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\mathrm{BC}&=&\sqrt{\mathrm{CD}^2+\mathrm{BD}^2}\\&=&\sqrt{4^2+4^2}\\&=&\sqrt{16+16}\\&=&\sqrt{16\times2}\\&=&\sqrt{16}\times\sqrt2\\&=&4\sqrt2\;\mathrm{cm}\end{array}$

Ingat bahwa rumus perbandingan trigonometri untuk penjumlahan dua sudut bentuk sinus dan rumus perbandingan trigonometri untuk selisih dua sudut bentuk tangen adalah sebagai berikut:

$sin space left parenthesis alpha plus beta right parenthesis equals sin space alpha times cos space beta plus cos space alpha times sin space beta tan space left parenthesis alpha minus beta right parenthesis equals fraction numerator space tan space alpha minus tan space beta over denominator space 1 plus tan space alpha times tan space beta end fraction$

Berdasarkan definisi sinus (perbandingan sisi), maka:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space alpha end cell equals cell CD over AC end cell row blank equals cell 4 over 5 end cell row blank blank blank row cell sin space beta end cell equals cell CD over BC end cell row blank equals cell fraction numerator up diagonal strike 4 over denominator up diagonal strike 4 square root of 2 end fraction cross times fraction numerator square root of 2 over denominator square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 half square root of 2 end cell end table$

Berdasarkan definisi cosinus (perbandingan sisi), maka:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space alpha end cell equals cell AD over AC end cell row blank equals cell 3 over 5 end cell row blank blank blank row cell cos space beta end cell equals cell BD over BC end cell row blank equals cell fraction numerator up diagonal strike 4 over denominator up diagonal strike 4 square root of 2 end fraction cross times fraction numerator square root of 2 over denominator square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 half square root of 2 end cell end table$

Berdasarkan definisi tangen (perbandingan sisi), maka:

$\begin{array}{rcl}\tan\;\alpha&=&\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}\\&=&\frac43\\&&\\\tan\;\beta&=&\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}\\&=&\frac44\\&=&1\end{array}$

Maka nilai dari $\sin\;(\alpha+\beta)+\tan\;(\alpha-\beta)$ , yaitu:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sin space left parenthesis alpha plus beta right parenthesis plus tan space left parenthesis alpha minus beta right parenthesis end cell row blank equals cell sin space alpha times cos space beta plus cos space alpha times sin space beta plus fraction numerator tan space alpha minus tan space beta over denominator 1 plus tan space alpha times tan space beta end fraction end cell row blank equals cell 4 over 5 times 1 half square root of 2 plus 3 over 5 times 1 half square root of 2 plus fraction numerator begin display style 4 over 3 end style minus 1 over denominator 1 plus begin display style 4 over 3 end style times 1 end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 4 over 5 plus 3 over 5 close parentheses 1 half square root of 2 plus fraction numerator begin display style fraction numerator 4 minus 3 over denominator up diagonal strike 3 end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 3 plus 4 over denominator up diagonal strike 3 end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 7 over 5 close parentheses 1 half square root of 2 plus 1 over 7 end cell row blank equals cell 7 over 10 square root of 2 plus 1 over 7 end cell end table$

Dengan demikian, nilai $\sin\;(\alpha+\beta)+\tan\;(\alpha-\beta)$ adalah $\frac7{10}\sqrt2+\frac17$ .

1rb+

0.0 (0 rating)