Pertanyaan

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + k = 0 . Tentukan nilai k agar kedua lingkaran tidakberpotongan dan tidak bersinggungan.

Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + k = 0$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + k = 0$ . Tentukan nilai $k$ agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat! Apabila persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 maka titik pusat lingkaran tersebut adalah P ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan jari- jari lingkaran adalah r = a 2 + b 2 − C Apabila diketahui titik pusat dua lingkaran P 1 ( a 1 , b 1 ) dan P 2 ( a 2 , b 2 ) maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah : ∣ L 1 L 2 ∣ = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 Dua buah lingkaran dikatakan tidak berpotongan dan tidak bersinggungan apabila: L 1 L 2 > r 1 + r 2 Diketahui L 1 : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 maka titik pusatnya adalah: P 1 ( − 2 1 A 1 , − 2 1 B 1 ) = = P 1 ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ( − 2 ) ) P 1 ( 2 , 1 ) dan jari-jarinya adalah: r 1 = = = = a 2 + b 2 − C 2 2 + 1 2 − k 4 + 1 − k 5 − k Diketahui L 2 : x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + k = 0 maka titik pusatnya adalah: P 2 ( − 2 1 A 2 , − 2 1 B 2 ) = = P 2 ( − 2 1 ( 2 ) , − 2 1 ( − 10 ) ) P 2 ( − 1 , 5 ) dan jari-jarinya adalah: r 2 = = = = a 2 + b 2 − C ( − 1 ) 2 + ( 5 ) 2 − k 1 + 25 − k 26 − k Oleh karena itu, jarak titik pusat dua lingkaran tersebut adalah: ∣ L 1 L 2 ∣ = = = = = = = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 ( 2 − ( − 1 ) ) 2 + ( 1 − 5 ) 2 ( 2 + 1 ) 2 + ( 1 − 5 ) 2 3 2 + ( − 4 ) 2 9 + 16 25 5 Agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan maka haruslah L 1 L 2 > r 1 + r 2 , sehingga diperoleh nilai k : L 1 L 2 5 5 2 25 25 25 − 31 − 6 − 2 − 6 3 > > > > > > > > > r 1 + r 2 5 − k + 26 − k ( 5 − k ) 2 + ( 26 − k ) 2 5 − k + 26 − k 31 − 2 k − 2 k − 2 k k k Dengan demikian, nilai k agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan adalah k < 3 .

Ingat!

Apabila persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ maka titik pusat lingkaran tersebut adalah $P (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan jari- jari lingkaran adalah $r = a^{2} + b^{2} - C$
Apabila diketahui titik pusat dua lingkaran $P_{1} (a_{1}, b_{1})$ dan $P_{2} (a_{2}, b_{2})$ maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah :

$∣ L_{1} L_{2} ∣ = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2}$

Dua buah lingkaran dikatakan tidak berpotongan dan tidak bersinggungan apabila:

$L_{1} L_{2} > r_{1} + r_{2}$

Diketahui $L_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + k = 0$ maka titik pusatnya adalah:

$P_{1} (- \frac{1}{2} A_{1}, - \frac{1}{2} B_{1}) = = P_{1} (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} (- 2)) P_{1} (2, 1)$

dan jari-jarinya adalah:

$r_{1} = = = = a^{2} + b^{2} - C 2^{2} + 1^{2} - k 4 + 1 - k 5 - k$

Diketahui $L_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + k = 0$ maka titik pusatnya adalah:

$P_{2} (- \frac{1}{2} A_{2}, - \frac{1}{2} B_{2}) = = P_{2} (- \frac{1}{2} (2), - \frac{1}{2} (- 10)) P_{2} (- 1, 5)$

dan jari-jarinya adalah:

$r_{2} = = = = a^{2} + b^{2} - C (- 1)^{2} + (5)^{2} - k 1 + 25 - k 26 - k$

Oleh karena itu, jarak titik pusat dua lingkaran tersebut adalah:

$∣ L_{1} L_{2} ∣ = = = = = = = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2} (2 - (- 1))^{2} + (1 - 5)^{2} (2 + 1)^{2} + (1 - 5)^{2} 3^{2} + (- 4)^{2} 9 + 16 255$

Agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan maka haruslah $L_{1} L_{2} > r_{1} + r_{2}$ , sehingga diperoleh nilai $k$ :

$L_{1} L_{2} 5 5^{2} 2525 25 - 31 - 6 \frac{- 6}{- 2} 3 > > > > > > > > > r_{1} + r_{2} 5 - k + 26 - k (5 - k)^{2} + (26 - k)^{2} 5 - k + 26 - k 31 - 2 k - 2 k - 2 k k k$

Dengan demikian, nilai $k$ agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan adalah $k < 3$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (5 rating)

Black Cat

Makasih ❤️ Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Jarak titik pusat dari lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 8 y + 13 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 9 = 0 adalah . . .

4.8

Jawaban terverifikasi

Agarlingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + 22 = 0 tidakberpotongan dan tidak bersiggungan, maka nilai k yang sesuaiadalah . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Banyak garis singgung persekutuan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 16 = 0 adalah. . .

3.0

Jawaban terverifikasi

Banyak garis singgung persekutuan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 16 = 0 adalah. . .

3.0

Jawaban terverifikasi

Agarlingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + 22 = 0 tidakberpotongan dan tidak bersiggungan, maka nilai k yang sesuaiadalah . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS