Pertanyaan

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + k = 0 . Tentukan nilai k agar kedua lingkaran tidakberpotongan dan tidak bersinggungan.

Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + k = 0$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + k = 0$ . Tentukan nilai $k$ agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat! Apabila persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 maka titik pusat lingkaran tersebut adalah P ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan jari- jari lingkaran adalah r = a 2 + b 2 − C Apabila diketahui titik pusat dua lingkaran P 1 ( a 1 , b 1 ) dan P 2 ( a 2 , b 2 ) maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah : ∣ L 1 L 2 ∣ = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 Dua buah lingkaran dikatakan tidak berpotongan dan tidak bersinggungan apabila: L 1 L 2 > r 1 + r 2 Diketahui L 1 : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 maka titik pusatnya adalah: P 1 ( − 2 1 A 1 , − 2 1 B 1 ) = = P 1 ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ( − 2 ) ) P 1 ( 2 , 1 ) dan jari-jarinya adalah: r 1 = = = = a 2 + b 2 − C 2 2 + 1 2 − k 4 + 1 − k 5 − k Diketahui L 2 : x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + k = 0 maka titik pusatnya adalah: P 2 ( − 2 1 A 2 , − 2 1 B 2 ) = = P 2 ( − 2 1 ( 2 ) , − 2 1 ( − 10 ) ) P 2 ( − 1 , 5 ) dan jari-jarinya adalah: r 2 = = = = a 2 + b 2 − C ( − 1 ) 2 + ( 5 ) 2 − k 1 + 25 − k 26 − k Oleh karena itu, jarak titik pusat dua lingkaran tersebut adalah: ∣ L 1 L 2 ∣ = = = = = = = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 ( 2 − ( − 1 ) ) 2 + ( 1 − 5 ) 2 ( 2 + 1 ) 2 + ( 1 − 5 ) 2 3 2 + ( − 4 ) 2 9 + 16 25 5 Agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan maka haruslah L 1 L 2 > r 1 + r 2 , sehingga diperoleh nilai k : L 1 L 2 5 5 2 25 25 25 − 31 − 6 − 2 − 6 3 > > > > > > > > > r 1 + r 2 5 − k + 26 − k ( 5 − k ) 2 + ( 26 − k ) 2 5 − k + 26 − k 31 − 2 k − 2 k − 2 k k k Dengan demikian, nilai k agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan adalah k < 3 .

Ingat!

Apabila persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ maka titik pusat lingkaran tersebut adalah $P (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan jari- jari lingkaran adalah $r = a^{2} + b^{2} - C$
Apabila diketahui titik pusat dua lingkaran $P_{1} (a_{1}, b_{1})$ dan $P_{2} (a_{2}, b_{2})$ maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah :

$∣ L_{1} L_{2} ∣ = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2}$

Dua buah lingkaran dikatakan tidak berpotongan dan tidak bersinggungan apabila:

$L_{1} L_{2} > r_{1} + r_{2}$

Diketahui $L_{1} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + k = 0$ maka titik pusatnya adalah:

$P_{1} (- \frac{1}{2} A_{1}, - \frac{1}{2} B_{1}) = = P_{1} (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} (- 2)) P_{1} (2, 1)$

dan jari-jarinya adalah:

$r_{1} = = = = a^{2} + b^{2} - C 2^{2} + 1^{2} - k 4 + 1 - k 5 - k$

Diketahui $L_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + k = 0$ maka titik pusatnya adalah:

$P_{2} (- \frac{1}{2} A_{2}, - \frac{1}{2} B_{2}) = = P_{2} (- \frac{1}{2} (2), - \frac{1}{2} (- 10)) P_{2} (- 1, 5)$

dan jari-jarinya adalah:

$r_{2} = = = = a^{2} + b^{2} - C (- 1)^{2} + (5)^{2} - k 1 + 25 - k 26 - k$

Oleh karena itu, jarak titik pusat dua lingkaran tersebut adalah:

$∣ L_{1} L_{2} ∣ = = = = = = = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2} (2 - (- 1))^{2} + (1 - 5)^{2} (2 + 1)^{2} + (1 - 5)^{2} 3^{2} + (- 4)^{2} 9 + 16 255$

Agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan maka haruslah $L_{1} L_{2} > r_{1} + r_{2}$ , sehingga diperoleh nilai $k$ :

$L_{1} L_{2} 5 5^{2} 2525 25 - 31 - 6 \frac{- 6}{- 2} 3 > > > > > > > > > r_{1} + r_{2} 5 - k + 26 - k (5 - k)^{2} + (26 - k)^{2} 5 - k + 26 - k 31 - 2 k - 2 k - 2 k k k$

Dengan demikian, nilai $k$ agar kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersinggungan adalah $k < 3$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (5 rating)

Black Cat

Makasih ❤️ Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Jarak titik pusat dari lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 8 y + 13 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 9 = 0 adalah . . .

4.8

Jawaban terverifikasi

Agarlingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + 22 = 0 tidakberpotongan dan tidak bersiggungan, maka nilai k yang sesuaiadalah . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Banyak garis singgung persekutuan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 16 = 0 adalah. . .

3.0

Jawaban terverifikasi

Banyak garis singgung persekutuan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 dan x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 16 = 0 adalah. . .

3.0

Jawaban terverifikasi

Agarlingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + k = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 10 y + 22 = 0 tidakberpotongan dan tidak bersiggungan, maka nilai k yang sesuaiadalah . . .

5.0

Jawaban terverifikasi