Diketahui garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 13 di titik ( 2 , 3 ) , menyinggung lingkaran ( x − 7 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = a . Tentukan nilai !

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai a = 169 . Diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 13 , dan titik ( 2 , 3 ) . Maka persamaan garis singgungnya adalah: x 1 ​ x + y 1 ​ y 2 x + 3 y 3 y y ​ = = = = ​ r 2 13 13 − 2 x 3 13 ​ − 3 2 ​ x ​ Karena garis tersebut juga menyinggung lingkaran ( x − 7 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = a , maka untuk memperoleh nilai , substitusikan persamaan y = 3 13 ​ − 3 2 ​ x ke dalam persamaan lingkaran ( x − 7 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = a . ( x − 7 ) 2 + ( y − 4 ) 2 ( x − 7 ) 2 + ( 3 13 ​ − 3 2 ​ x − 4 ) 2 ( x − 7 ) ( x − 7 ) + ( 3 13 − 12 ​ − 3 2 ​ x ) 2 ( x 2 − 14 x + 49 ) + ( 3 1 ​ − 3 2 ​ x ) 2 ( x 2 − 14 x + 49 ) + ( 3 1 ​ − 3 2 ​ x ) ( 3 1 ​ − 3 2 ​ x ) ( x 2 − 14 x + 49 ) + ( 9 1 ​ − 9 2 ​ x − 9 2 ​ x + 9 4 ​ x 2 ) x 2 + 9 4 ​ x 2 − 14 x − 9 4 ​ x + 49 + 9 1 ​ 9 x 2 + 4 x 2 − 126 x − 4 x + 441 + 1 13 x 2 − 13 0 2 + 442 13 x 2 − 13 0 2 + 442 − 9 a ​ = = = = = = = = = = ​ a a a a a a a 9 a 9 a 0     … ( 1 ) ​ Ingatlah bahwa syarat suatu garismenyinggung lingkaran yaitu nilai diskriminan bersamanya sama dengan nol,dengan D = b 2 − 4 a c . Perhatikan bahwa nilai a , b , dan dari persamaan (1) adalah a b c ​ = = = ​ 13 − 130 442 − 9 a ​ Akibatnya D b 2 − 4 a c ( − 130 ) 2 − 4 ( 13 ) ( 442 − 9 a ) 16.900 − 52 ( 442 − 9 a ) 16.900 − 22.984 + 36 a − 6.084 + 36 a 36 a a ​ = = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 0 6.084 169 ​ Dengan demikian, diperoleh nilai a = 169 .