Pertanyaan

Diketahui fungsi peluang f ( x ) = k x 2 terdefinisi untuk 3 ≤ X ≤ 6 dan bernilai 0 untuk nilai x yang lain. a. Tentukan nilai k ! b. Tentukan nilai peluang P ( X ≤ 4 ) ! c. Tentukan nilai peluang P ( 4 ≤ X ≤ 5 ) !

Diketahui fungsi peluang $f (x) = k x^{2}$ terdefinisi untuk $3 \leq X \leq 6$ dan bernilai $0$ untuk nilai $x$ yang lain.

a. Tentukan nilai $k$ !

b. Tentukan nilai peluang $P (X \leq 4)$ !

c. Tentukan nilai peluang $P (4 \leq X \leq 5)$ !

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai peluang P ( 4 ≤ X ≤ 5 ) adalah 189 61 .

nilai peluang

P (4 \leq X \leq 5)

adalah

\frac{61}{189}

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut berturut-turut adalah k = 63 1 , P ( X ≤ 4 ) = 189 152 , dan P ( 4 ≤ X ≤ 5 ) = 189 61 . Soal nomor a. Fungsi f ( x ) = k x 2 pada interval 3 ≤ X ≤ 6 merupakan fungsi peluang jika luas daerah di bawahnya sama dengan 1, yaitu : ∫ 3 6 f ( x ) d x ∫ 3 6 ( k x 2 ) d x [ 3 k x 3 ] 3 6 3 k ( 6 ) 3 − 3 k ( 3 ) 3 3 216 k − 3 27 k 3 189 k 189 k k k = = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 3 189 3 63 1 Dengan demikian, diperoleh nilai k adalah 63 1 . Soal nomor b. Peluang terambil nilai data pada interval c ≤ X ≤ d sama dengan luas daerah dibawah kurva pada interval tersebut. Dapat dituliskan : P ( c ≤ X ≤ d ) = ∫ c d f ( x ) d x Menentukan nilai peluang P ( X ≤ 4 ) yaitu : P ( X ≤ 4 ) = = = = = = = = = P ( 4 ≤ X ≤ 6 ) ∫ 4 6 f ( x ) d x ∫ 4 6 ( 63 1 x 2 ) d x 63 1 ∫ 4 6 ( x 2 ) d x 63 1 [ 3 1 x 3 ] 4 6 63 1 ( 3 1 ( 6 ) 3 − 3 1 ( 4 ) 3 ) 63 1 ( 3 216 − 3 64 ) 63 1 ( 3 152 ) 189 152 Dengan demikian,nilai peluang P ( X ≤ 4 ) adalah 189 152 . Soal nomor c. Menentukan nilai peluang P ( 4 ≤ X ≤ 5 ) yaitu : P ( 4 ≤ X ≤ 5 ) = = = = = = = = ∫ 4 5 f ( x ) d x ∫ 4 5 ( 63 1 x 2 ) d x 63 1 ∫ 4 5 ( x 2 ) d x 63 1 [ 3 1 x 3 ] 4 5 63 1 ( 3 1 ( 5 ) 3 − 3 1 ( 4 ) 3 ) 63 1 ( 3 125 − 3 64 ) 63 1 ( 3 61 ) 189 61 Dengan demikian,nilai peluang P ( 4 ≤ X ≤ 5 ) adalah 189 61 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut berturut-turut adalah $k = \frac{1}{63}$ , $P (X \leq 4) = \frac{152}{189}$ , dan $P (4 \leq X \leq 5) = \frac{61}{189}$ .

Soal nomor a.

Fungsi $f (x) = k x^{2}$ pada interval $3 \leq X \leq 6$ merupakan fungsi peluang jika luas daerah di bawahnya sama dengan 1, yaitu :

$\int_{3}^{6} f (x) d x \int_{3}^{6} (k x^{2}) d x [\frac{k}{3} x^{3}]_{3}^{6} \frac{k}{3} (6)^{3} - \frac{k}{3} (3)^{3} \frac{216 k}{3} - \frac{27 k}{3} \frac{189 k}{3} 189 k k k = = = = = = = = = 1111113 \frac{3}{189} \frac{1}{63}$

Dengan demikian, diperoleh nilai $k$ adalah $\frac{1}{63}$ .

Soal nomor b.

Peluang terambil nilai data pada interval $c \leq X \leq d$ sama dengan luas daerah dibawah kurva pada interval tersebut. Dapat dituliskan :

$P (c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f (x) d x$

Menentukan nilai peluang $P (X \leq 4)$ yaitu :

$P (X \leq 4) = = = = = = = = = P (4 \leq X \leq 6) \int_{4}^{6} f (x) d x \int_{4}^{6} (\frac{1}{63} x^{2}) d x \frac{1}{63} \int_{4}^{6} (x^{2}) d x \frac{1}{63} [\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{6} \frac{1}{63} (\frac{1}{3} (6)^{3} - \frac{1}{3} (4)^{3}) \frac{1}{63} (\frac{216}{3} - \frac{64}{3}) \frac{1}{63} (\frac{152}{3}) \frac{152}{189}$

Dengan demikian, nilai peluang $P (X \leq 4)$ adalah $\frac{152}{189}$ .

Soal nomor c.

Menentukan nilai peluang $P (4 \leq X \leq 5)$ yaitu :

$P (4 \leq X \leq 5) = = = = = = = = \int_{4}^{5} f (x) d x \int_{4}^{5} (\frac{1}{63} x^{2}) d x \frac{1}{63} \int_{4}^{5} (x^{2}) d x \frac{1}{63} [\frac{1}{3} x^{3}]_{4}^{5} \frac{1}{63} (\frac{1}{3} (5)^{3} - \frac{1}{3} (4)^{3}) \frac{1}{63} (\frac{125}{3} - \frac{64}{3}) \frac{1}{63} (\frac{61}{3}) \frac{61}{189}$

Dengan demikian, nilai peluang $P (4 \leq X \leq 5)$ adalah $\frac{61}{189}$ .

Latihan Bab

Distribusi Probabilitas Kontinu

Ekspektasi dan Variansi (Kontinu)

Distribusi Normal

Probabilitas Distribusi Normal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

930

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui fungsi peluang f ( x ) sebagai berikut. f ( x ) = { k x + 2 ; untuk 2 ≤ x ≤ 4 0 ; untuk x yanglain a. Tentukan nilai k ! b. Tentukan nilai peluang P ( 2 ≤ X ≤ 3 ) ! c. Tentuk...

221

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui fungsi peluang f ( x ) sebagai berikut. f ( x ) = { k x + 2 ; untuk 2 ≤ x ≤ 4 0 ; untuk x yanglain d. Tentukan nilai peluang P ( X ≤ 3 ) ! e. Tentukan nilai peluang P ( X > 2...

212

4.1

Jawaban terverifikasi

Diketahui fungsi peluang f ( x ) sebagai berikut. f ( x ) = { k x + 2 ; untuk 2 ≤ x ≤ 4 0 ; untuk x yanglain a. Tentukan nilai k ! b. Tentukan nilai peluang P ( 2 ≤ X ≤ 3 ) ! c. Tentuk...

221

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui fungsi peluang f ( x ) sebagai berikut. f ( x ) = { k x + 2 ; untuk 2 ≤ x ≤ 4 0 ; untuk x yanglain d. Tentukan nilai peluang P ( X ≤ 3 ) ! e. Tentukan nilai peluang P ( X > 2...

212

4.1

Jawaban terverifikasi

Diketahui suatu fungsi distribusi probabilitas kontinu f ( x ) { 500 3 ( 10 x − x 2 ) , 0 u n t u k 0 ≤ x ≤ 10 u n t u k x y an g l ain Median dari distribusi tersebut adalah . . .

716

5.0

Jawaban terverifikasi