Pertanyaan

Diketahui fungsi g ( x ) = x 2 + 4 x + 5 , x ∈ R . Agar g merupakan fungsi bijektif, tentukan: a. daerah asal dan daerah hasil fungsi ,

Diketahui fungsi $g (x) = x^{2} + 4 x + 5, x \in R$ . Agar $g$ merupakan fungsi bijektif, tentukan:
a. daerah asal dan daerah hasil fungsi ,

M. Nasrullah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Jawaban

agar menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah dan daerah hasilnya asalah .

agar

menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah

dan daerah hasilnya asalah

Pembahasan

Suatu fungsi disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektifdan sekaligus fungsi injektif. Fungsi injektif atau fungsi satu-satu adalah fungsi yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain. Pada fungsi kuadrat, dua nilai domain akan memiliki satu pasangan yang sama di kodomain kecuali pada nilai ekstrim atau titik baliknya. Hal ini tentu tidak sesuai dengan syarat fungsi injektif. Oleh karena itu, agar fungsi kuadrat menjadi fungsi injektif maka domain harus dibatasi pada titik baliknya. Koordinat padatitik balik fungsi adalah Sehingga, UNtuk nilai y, . Maka batasan fungsi agar menjadi fungsi injektif adalah . Ingat bahwa suatu fungsi kuadrat , jika maka terbuka ke bawah, jika maka terbuka ke bawah. Untuk , dengan maka kurva menghadap ke atas (berbentuk ). Sehingga daerah hasilnya . Jadi, agar menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah dan daerah hasilnya asalah .

Suatu fungsi disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus fungsi injektif.

Fungsi injektif atau fungsi satu-satu adalah fungsi yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.
Pada fungsi kuadrat, dua nilai domain akan memiliki satu pasangan yang sama di kodomain kecuali pada nilai ekstrim atau titik baliknya. Hal ini tentu tidak sesuai dengan syarat fungsi injektif. Oleh karena itu, agar fungsi kuadrat menjadi fungsi injektif maka domain harus dibatasi pada titik baliknya.
Koordinat pada titik balik fungsi f left parenthesis x right parenthesis equals a x squared plus b x plus c adalah $begin mathsize 14px style open parentheses negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses end style$

Sehingga,

g open parentheses x close parentheses equals x squared plus 4 x plus 5 comma space a equals 1 comma space b equals 4 space c equals 5

$begin mathsize 14px style x equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction equals negative 2 end style$

UNtuk nilai y,

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared plus 4 x plus 5 end cell row blank equals cell open parentheses negative 2 close parentheses squared plus 4 open parentheses negative 2 close parentheses plus 5 end cell row blank equals 1 end table .

Maka batasan fungsi agar menjadi fungsi injektif adalah .

Ingat bahwa suatu fungsi kuadrat f left parenthesis x right parenthesis equals a x squared plus b x plus c , jika a less than 0 maka terbuka ke bawah, jika a greater than 0 maka terbuka ke bawah.

Untuk , dengan a greater than 0 maka kurva menghadap ke atas (berbentuk ). Sehingga daerah hasilnya .

Jadi, agar menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah dan daerah hasilnya asalah .