Pertanyaan

Diketahui fungsi f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 , x ∈ R . Agar f merupakan fungsi bijektif, tentukan: a. daerah asal dan daerah hasil ,

Diketahui fungsi $f (x) = x^{2} - 2 x - 3, x \in R$ . Agar $f$ merupakan fungsi bijektif, tentukan:
a. daerah asal dan daerah hasil ,

D. Kamilia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

agar menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah dan daerah hasilnya asalah .

agar

menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah

dan daerah hasilnya asalah

Pembahasan

Suatu fungsi disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektifdan sekaligus fungsi injektif. Fungsi injektif atau fungsi satu-satu adalah fungsi yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain. Pada fungsi kuadrat, dua nilai domain akan memiliki satu pasangan yang sama di kodomain kecuali pada nilai ekstrim atau titik baliknya. Hal ini tentu tidak sesuai dengan syarat fungsi injektif. Oleh karena itu, agar fungsi kuadrat menjadi fungsi injektif maka domain harus dibatasi pada titik baliknya. Koordinat padatitik balik fungsi adalah Untuk , . Maka batasan fungsi agar menjadi fungsi injektif adalah . Fungsi surjektif adalah adalah fungsi yang setiap anggota kodomain mempunyai pasangan didomain (daerah hasil berimpit dengan kodomain). Pada fungsi kuadrat, agar fungsi tersebut menjadifungsi surjektif maka daerah hasilnya dibatasi pada nilai ekstrim atau titik baliknya (koordinat ). Untuk , kurva menghadap ke atas (berbentuk ) dan koordinat titik baliknya adalah . Makakodomain/daerah hasil agar menjadi fungsi surjektif adalah . Jadi, agar menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah dan daerah hasilnya asalah .

Suatu fungsi disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus fungsi injektif.

Fungsi injektif atau fungsi satu-satu adalah fungsi yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.
Pada fungsi kuadrat, dua nilai domain akan memiliki satu pasangan yang sama di kodomain kecuali pada nilai ekstrim atau titik baliknya. Hal ini tentu tidak sesuai dengan syarat fungsi injektif. Oleh karena itu, agar fungsi kuadrat menjadi fungsi injektif maka domain harus dibatasi pada titik baliknya.
Koordinat pada titik balik fungsi adalah $begin mathsize 14px style open parentheses negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses end style$

Untuk , $begin mathsize 14px style x equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction equals negative fraction numerator open parentheses negative 2 close parentheses over denominator 2 open parentheses 1 close parentheses end fraction equals 1 semicolon end style$ .

Maka batasan fungsi agar menjadi fungsi injektif adalah .

Fungsi surjektif adalah adalah fungsi yang setiap anggota kodomain mempunyai pasangan di domain (daerah hasil berimpit dengan kodomain). Pada fungsi kuadrat, agar fungsi tersebut menjadi fungsi surjektif maka daerah hasilnya dibatasi pada nilai ekstrim atau titik baliknya (koordinat ).
Untuk , kurva menghadap ke atas (berbentuk ) dan koordinat titik baliknya adalah .
Maka kodomain/daerah hasil agar menjadi fungsi surjektif adalah .

Jadi, agar menjadi fungsi bijektif daerah asalnya adalah dan daerah hasilnya asalah .