Pertanyaan

Diketahui deret: S = 3 2 − 3 2 2 2 + 3 3 2 3 − 3 4 2 4 + ... a. Tentukan rumus jumlah S n dari n suku pertama. b. Tentukan nilai S ∞ . c. Tentukan n sehingga selisih antara S ∞ dan S n kurang dari 1 0 − 6 .

Diketahui deret:

$S = \frac{2}{3} - \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} + \frac{2 ^{3}}{3 ^{3}} - \frac{2 ^{4}}{3 ^{4}} + ...$

a. Tentukan rumus jumlah $S_{n}$ dari $n$ suku pertama.
b. Tentukan nilai $S_{\infty}$ .
c. Tentukan $n$ sehingga selisih antara $S_{\infty}$ dan $S_{n}$ kurang dari $1 0^{- 6}$ .

L. Rante

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai n yang memenuhi adalah semua bilangan asli ganjil dan semua bilangan asli genap yang kurang dari 31 .

nilai

n

yang memenuhi adalah semua bilangan asli ganjil dan semua bilangan asli genap yang kurang dari

31

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah S n = 5 2 [ 1 − ( − 3 2 ) n ] S ∞ = 5 2 Semua bilangan asli ganjil dan semua bilangan asli genap yang kurang dari 31 . Ingat! Jumlah deret geometritak hinggayaitu S ∞ = 1 − r a Jumlah n suku pertama dari barisan geometri yaitu S n = 1 − r a ( 1 − r n ) , − 1 < r < 1 Perhatikan perhitungan berikut! Diketahui a r = = = 3 2 3 2 − 3 2 2 2 − 3 2 a.Jumlah S n dari n suku pertama S n = = = = 1 − ( − 3 2 ) ( 3 2 ) [ 1 − ( − 3 2 ) n ] 1 + 3 2 ( 3 2 ) [ 1 − ( − 3 2 ) n ] 3 5 ( 3 2 ) [ 1 − ( − 3 2 ) n ] 5 2 [ 1 − ( − 3 2 ) n ] Dengan demikian, jumlah n suku pertama adalah S n = 5 2 [ 1 − ( − 3 2 ) n ] . b. Nilai S ∞ S ∞ = = = = 1 − ( − 3 2 ) 3 2 1 + 3 2 3 2 3 5 3 2 5 2 Dengan demikian, nilai S ∞ = 5 2 . c. Nilai n sehingga selisih antara S ∞ dan S n kurang dari 1 0 − 6 Untuk n genapdimana ( − 3 2 ) n = − ( 3 2 ) n sehingga S ∞ − S n 5 2 − 5 2 [ 1 − ( − 3 2 ) n ] 5 2 − 5 2 [ 1 − ( 3 2 ) n ] 5 2 − 5 2 + 5 2 ( 3 2 ) n 5 2 ( 3 2 ) n ( 3 2 ) n lo g ( 3 2 ) n n ⋅ lo g ( 3 2 ) n ⋅ ( lo g 2 − lo g 3 ) n ⋅ ( lo g 2 − lo g 3 ) n n n < < < < < < < < < < < < < 1 0 − 6 1 0 − 6 1 0 − 6 1 0 − 6 1 0 − 6 2 5 ( 1 0 − 6 ) lo g 2 5 ( 1 0 − 6 ) lo g 2 5 ( 1 0 − 6 ) lo g 5 + lo g 1 0 − 6 − lo g 2 ( lo g 5 − lo g 2 ) − 6 l o g 2 − l o g 3 ( l o g 5 − l o g 2 ) − 6 31 , 8 31 Untuk n yang ganjil dimana ( − 3 2 ) n = − ( 3 2 ) n , sehingga S ∞ − S n 5 2 − 5 2 [ 1 − ( − 3 2 ) n ] 5 2 − 5 2 [ 1 + ( 3 2 ) n ] 5 2 − 5 2 − 5 2 ( 3 2 ) n − 5 2 ( 3 2 ) n < < < < < 1 0 − 6 1 0 − 6 1 0 − 6 1 0 − 6 1 0 − 6 benar untuk setiap nilai n Dengan demikian, nilai n yang memenuhi adalah semua bilangan asli ganjil dan semua bilangan asli genap yang kurang dari 31 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah

$S_{n} = \frac{2}{5} [1 - (- \frac{2}{3})^{n}]$
$S_{\infty} = \frac{2}{5}$
Semua bilangan asli ganjil dan semua bilangan asli genap yang kurang dari $31$ .

Ingat!

Jumlah deret geometri tak hingga yaitu

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri yaitu

$S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, - 1 < r < 1$

Perhatikan perhitungan berikut!

Diketahui

$a r = = = \frac{2}{3} \frac{- \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}}}{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3}$

a. Jumlah $S_{n}$ dari $n$ suku pertama

$S_{n} = = = = \frac{( \frac{2}{3} ) [ 1 - ( - \frac{2}{3} ) ^{n} ]}{1 - ( - \frac{2}{3} )} \frac{( \frac{2}{3} ) [ 1 - ( - \frac{2}{3} ) ^{n} ]}{1 + \frac{2}{3}} \frac{( \frac{2}{3} ) [ 1 - ( - \frac{2}{3} ) ^{n} ]}{\frac{5}{3}} \frac{2}{5} [1 - (- \frac{2}{3})^{n}]$

Dengan demikian, jumlah $n$ suku pertama adalah $S_{n} = \frac{2}{5} [1 - (- \frac{2}{3})^{n}]$ .

b. Nilai $S_{\infty}$

$S_{\infty} = = = = \frac{\frac{2}{3}}{1 - ( - \frac{2}{3} )} \frac{\frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} \frac{2}{5}$

Dengan demikian, nilai $S_{\infty} = \frac{2}{5}$ .

c. Nilai $n$ sehingga selisih antara $S_{\infty}$ dan $S_{n}$ kurang dari $1 0^{- 6}$

Untuk $n$ genap dimana $(- \frac{2}{3})^{n} = - (\frac{2}{3})^{n}$ sehingga

$S_{\infty} - S_{n} \frac{2}{5} - \frac{2}{5} [1 - (- \frac{2}{3})^{n}] \frac{2}{5} - \frac{2}{5} [1 - (\frac{2}{3})^{n}] \frac{2}{5} - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2}{3})^{n} \frac{2}{5} (\frac{2}{3})^{n} (\frac{2}{3})^{n} lo g (\frac{2}{3})^{n} n \cdot lo g (\frac{2}{3}) n \cdot (lo g 2 - lo g 3) n \cdot (lo g 2 - lo g 3) n n n < < < < < < < < < < < < < 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} \frac{5}{2} (1 0^{- 6}) lo g \frac{5}{2} (1 0^{- 6}) lo g \frac{5}{2} (1 0^{- 6}) lo g 5 + lo g 1 0^{- 6} - lo g 2 (lo g 5 - lo g 2) - 6 \frac{( l o g 5 - l o g 2 ) - 6}{l o g 2 - l o g 3} 31, 8 31$

Untuk $n$ yang ganjil dimana $(- \frac{2}{3})^{n} = - (\frac{2}{3})^{n}$ , sehingga

$S_{\infty} - S_{n} \frac{2}{5} - \frac{2}{5} [1 - (- \frac{2}{3})^{n}] \frac{2}{5} - \frac{2}{5} [1 + (\frac{2}{3})^{n}] \frac{2}{5} - \frac{2}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{3})^{n} - \frac{2}{5} (\frac{2}{3})^{n} < < < < < 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} 1 0^{- 6} benar untuk setiap nilai n$

Dengan demikian, nilai $n$ yang memenuhi adalah semua bilangan asli ganjil dan semua bilangan asli genap yang kurang dari $31$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Bandingkan jumlah tak hingga dari deret geometri: 1 + 2 1 + 4 1 + 8 1 + ... dengan jumlah 10 suku pertama deret itu.

0.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah semua suku barisan geometri -360, 120, -40,...adalah....

2.5

Jawaban terverifikasi

Jumlah semua suku barisan geometri -360, 120, -40,...adalah....

2.5

Jawaban terverifikasi

Bandingkan jumlah tak hingga dari deret geometri: 1 + 2 1 + 4 1 + 8 1 + ... dengan jumlah 10 suku pertama deret itu.

0.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah semua suku bilangan ganjil dari deret geometri tak hingga adalah 4. Jika jumlah deret tersebut adalah 6, maka jumlah 2 suku pertamanya adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi