Diketahui x 1 ​ dan x 2 ​ adalah nilai-nilai x yang menyebabkan panjangproyeksi u = ⎝ ⎛ ​ 1 x 5 ​ ⎠ ⎞ ​ terhadap v = ⎝ ⎛ ​ 1 2 2 ​ ⎠ ⎞ ​ sama dengan 5. Jika x 1 ​ < x 2 ​ , banyaknya bilangan bulat yang memenuhi x 1 ​ < p ≤ x 2 ​ adalah ....

Pembahasan

Diketahui bahwa u = ⎝ ⎛ ​ 1 x 5 ​ ⎠ ⎞ ​ dan v = ⎝ ⎛ ​ 1 2 2 ​ ⎠ ⎞ ​ . Kemudian,panjangproyeksi terhadap sama dengan 5. Akibatnya, didapat persamaan berikut. ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ v ∣ ∣ ​ u ⋅ v ​ ∣ ∣ ​ = 5 Dapat diperhatikan bahwa dapatdihitung sebagai berikut. u ⋅ v ​ = = = = ​ ⎝ ⎛ ​ 1 x 5 ​ ⎠ ⎞ ​ ⋅ ⎝ ⎛ ​ 1 2 2 ​ ⎠ ⎞ ​ 1 ( 1 ) + x ( 2 ) + 5 ( 2 ) 1 + 2 x + 10 2 x + 11 ​ Kemudian, nilai dari adalah sebagai berikut. ∣ v ∣ ​ = = = = ​ 1 2 + 2 2 + 2 2 ​ 1 + 4 + 4 ​ 9 ​ 3 ​ Kemudian, substitusinilai dan ke persamaan ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ v ∣ ∣ ​ u ⋅ v ​ ∣ ∣ ​ = 5 . ∣ ∣ ​ ∣ v ∣ u ⋅ v ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 3 2 x + 11 ​ ∣ ∣ ​ ∣3∣ ∣2 x + 11∣ ​ 3 ∣2 x + 11∣ ​ ∣2 x + 11∣ ​ = = = = = ​ 5 5 5 5 15 ​ Akibatnya, didapat atau . Kemudian, perhatikan perhitungan berikut! atau Didapat atau . Pada soal, diketahui bahwa maka dan Oleh karena itu, bilangan bulat yang memenuhi − 13 < p ≤ 2 adalah − 12 , − 11 , − 10 , − 9 , − 8 , − 7 , − 6 , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2. Dengan demikian, banyak bilangan bulat yang memenuhi − 13 < p ≤ 2 adalah 15. Jadi, jawaban yang tepat adalah E.