Pertanyaan

Diketahui barisan U n = − 3 1 U n − 1 + 2 dengan U 1 = 5 . Tentukan: a. U 2 dan U 3 b. U 10 .

Diketahui barisan $U_{n} = - \frac{1}{3} U_{n - 1} + 2$ dengan $U_{1} = 5$ . Tentukan:

a. $U_{2}$ dan $U_{3}$

b. $U_{10}$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

L. Sibuea

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai U 10 = 19.683 29.521 .

nilai

U_{10} = \frac{29.521}{19.683}

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah a. U 2 = 3 1 dan U 3 = 9 17 . b. U 10 = 19 . 683 29 . 521 . Ingat! Misalkan U 1 , U 2 , U 3 , ... merupakan barisan aritmetika. Barisan aritmetika memenuhi persamaan beda hingga sebagai berikut. U n = U n − 1 + b a. Berdasarkan rumus U n = − 3 1 U n − 1 + 2 dan U 1 = 5 maka dapat dihitung nilai U 2 dan U 3 adalah: U 2 = = = − 3 1 U 1 + 2 − 3 1 ( 5 ) + 2 3 1 U 3 = = = = − 3 1 U 2 + 2 − 3 1 ( 3 1 ) + 2 − 9 1 + 2 9 17 Nilai U 3 dapat ditentukan dengan cara lain sebagai berikut: U 2 U 3 = = = = = − 3 1 U 1 + 2 ( × − 3 1 ) − 3 1 U 2 + 2 − 3 1 ( − 3 1 ) U 1 + 2 ( − 3 1 ) + 2 ( 9 1 ) ( 5 ) − 3 2 + 2 9 17 Dengan demikian, nilai U 2 = 3 1 dan U 3 = 9 17 . b. Berdasarkan cara menghitung U 3 maka dengan cara yang sama dapat dihitung nilai U 10 sebagai berikut: U 2 U 3 U 9 U 10 = = = = − 3 1 U 1 + 2 ( × ( − 3 1 ) ? ) − 3 1 U 2 + 2 ( × ( − 3 1 ) ? ) ⋮ − 3 1 U 8 + 2 ( × ( − 3 1 ) ? ) − 3 1 U 9 + 2 Seperti pada perhitungan U 3 , maka U 9 = − 3 1 U 8 + 2 juga dikalikan dengan ( − 3 1 ) agar saat dijumlahkan akan menghapus ( − 3 1 U 9 ) . Dengan menjumlahkan 9 persamaan tersebut akan diperoleh: U 10 = ( − 3 1 ) 9 U 1 + 2 + 2 ( − 3 1 ) + 2 ( − 3 1 ) 2 + ... + 2 ( − 3 1 ) 8 Persamaan diatas dapat disederhanakan dengan cara berikut: x − 3 1 x − 3 1 x − x − 3 4 x x x x = = = = = = = 2 + 2 ( − 3 1 ) + 2 ( − 3 1 ) 2 + ... + 2 ( − 3 1 ) 8 2 ( − 3 1 ) + 2 ( − 3 1 ) 2 + ... + 2 ( − 3 1 ) 8 + 2 ( − 3 1 ) 9 ( 2 ( − 3 1 ) + 2 ( − 3 1 ) 2 + ... + 2 ( − 3 1 ) 8 + 2 ( − 3 1 ) 9 ) − ( 2 + 2 ( − 3 1 ) + 2 ( − 3 1 ) 2 + ... + 2 ( − 3 1 ) 8 ) 2 ( − 3 1 ) 9 − 2 2 ( ( − 3 1 ) 9 − 1 ) × − 4 3 − 2 3 ( ( − 3 1 ) 9 − 1 ) − 2 3 ( − 3 1 ) 3 + 2 3 Oleh karena itu, suku ke − 10 dapat ditentukan dengan: U 10 = = = ( − 3 1 ) 9 U 1 − 2 3 ( − 3 1 ) 3 + 2 3 ( − 3 1 ) 9 ( 5 ) − 2 3 ( − 3 1 ) 3 + 2 3 19.683 29.521 Dengan demikian, nilai U 10 = 19.683 29.521 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah

a. $U_{2} = \frac{1}{3}$ dan $U_{3} = \frac{17}{9}$ .

b. $U_{10} = \frac{29 . 521}{19 . 683}$ .

Ingat!

Misalkan $U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...$ merupakan barisan aritmetika. Barisan aritmetika memenuhi persamaan beda hingga sebagai berikut.

$U n = U_{n - 1} + b$

a. Berdasarkan rumus $U_{n} = - \frac{1}{3} U_{n - 1} + 2$ dan $U_{1} = 5$ maka dapat dihitung nilai $U_{2}$ dan $U_{3}$ adalah:

$U_{2} = = = - \frac{1}{3} U_{1} + 2 - \frac{1}{3} (5) + 2 \frac{1}{3}$

$U_{3} = = = = - \frac{1}{3} U_{2} + 2 - \frac{1}{3} (\frac{1}{3}) + 2 - \frac{1}{9} + 2 \frac{17}{9}$

Nilai $U_{3}$ dapat ditentukan dengan cara lain sebagai berikut:

$U_{2} U_{3} = = = = = - \frac{1}{3} U_{1} + 2 (\times - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} U_{2} + 2 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}) U_{1} + 2 (- \frac{1}{3}) + 2 (\frac{1}{9}) (5) - \frac{2}{3} + 2 \frac{17}{9}$

Dengan demikian, nilai $U_{2} = \frac{1}{3}$ dan $U_{3} = \frac{17}{9}$ .

b. Berdasarkan cara menghitung $U_{3}$ maka dengan cara yang sama dapat dihitung nilai $U_{10}$ sebagai berikut:

$U_{2} U_{3} U_{9} U_{10} = = = = - \frac{1}{3} U_{1} + 2 (\times (- \frac{1}{3})^{?}) - \frac{1}{3} U_{2} + 2 (\times (- \frac{1}{3})^{?}) ⋮ - \frac{1}{3} U_{8} + 2 (\times (- \frac{1}{3})^{?}) - \frac{1}{3} U_{9} + 2$

Seperti pada perhitungan $U_{3}$ , maka $U_{9} = - \frac{1}{3} U_{8} + 2$ juga dikalikan dengan $(- \frac{1}{3})$ agar saat dijumlahkan akan menghapus $(- \frac{1}{3} U_{9})$ . Dengan menjumlahkan $9$ persamaan tersebut akan diperoleh:

$U_{10} = (- \frac{1}{3})^{9} U_{1} + 2 + 2 (- \frac{1}{3}) + 2 (- \frac{1}{3})^{2} + ... + 2 (- \frac{1}{3})^{8}$

Persamaan diatas dapat disederhanakan dengan cara berikut:

$x - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} x - x - \frac{4}{3} x x x x = = = = = = = 2 + 2 (- \frac{1}{3}) + 2 (- \frac{1}{3})^{2} + ... + 2 (- \frac{1}{3})^{8} 2 (- \frac{1}{3}) + 2 (- \frac{1}{3})^{2} + ... + 2 (- \frac{1}{3})^{8} + 2 (- \frac{1}{3})^{9} (2 (- \frac{1}{3}) + 2 (- \frac{1}{3})^{2} + ... + 2 (- \frac{1}{3})^{8} + 2 (- \frac{1}{3})^{9}) - (2 + 2 (- \frac{1}{3}) + 2 (- \frac{1}{3})^{2} + ... + 2 (- \frac{1}{3})^{8}) 2 (- \frac{1}{3})^{9} - 2 2 ((- \frac{1}{3})^{9} - 1) \times - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} ((- \frac{1}{3})^{9} - 1) - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3})^{3} + \frac{3}{2}$

Oleh karena itu, suku $ke - 10$ dapat ditentukan dengan:

$U_{10} = = = (- \frac{1}{3})^{9} U_{1} - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3})^{3} + \frac{3}{2} (- \frac{1}{3})^{9} (5) - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3})^{3} + \frac{3}{2} \frac{29.521}{19.683}$