Diberikan titik Qdan R pada lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 8 y + k = 0 dengan garis singgung lingkaran pada titik Qdan R berpotongan di titik S ( 7 , − 4 ) . Jika luas segi empat yang melalui Q, R, S, dan titik pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka salah satu nilai k yang memenuhi adalah ....

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini! Misal titik P adalah pusat lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 8 y + k = 0 sehingga didapat koordinat titik P adalah sebagai berikut. P ( − 2 1 ​ ( − 4 ) , − 2 1 ​ ( 8 ) ) = P ( 2 , − 4 ) Kemudian, didapat panjang jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut. r r r r 2 ​ = = = = ​ 2 2 + ( − 4 ) 2 − k ​ 4 + 16 − k ​ 20 − k ​ 20 − k ... ( 1 ) ​ Diketahui koordinat P ( 2 , − 4 ) dan S ( 7 , − 4 ) sehingga panjang PS dapat dicari dengan cara sebagai berikut. PS ​ = = = = ​ ( 7 − 2 ) 2 + ( − 4 − ( − 4 )) 2 ​ 5 2 + 0 2 ​ 25 ​ 5 ​ Dapat diperhatikan bahwa PQ = PR = r dan segitiga PQSmerupakan segitiga siku-siku karena garis QSbersinggungan dengan lingkaran. Dengan demikian, berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut. PQ 2 + QS 2 r 2 + QS 2 QS 2 QS ​ = = = = ​ PS 2 25 25 − r 2 ± 25 − r 2 ​ ​ Karena panjang QS tidak mungkin negatif, maka QS = 25 − r 2 ​ satuan panjang. Dapat diperhatikan bahwa segiempat PQSR merupakan bangun layang-layang sehingga luas bangun PQSR sama dengan kali segitiga PQS. Oleh karena itu, diperoleh hasil berikut ini. L PQSR ​ 12 12 12 1 2 2 144 144 r 4 − 25 r 2 + 144 ( r 2 − 9 ) ( r 2 − 16 ) ​ = = = = = = = = = ​ 2 L PQS ​ 2 ⋅ 2 1 ​ ⋅ PQ ⋅ QS PQ ⋅ QS r 25 − r 2 ​ ( r 25 − r 2 ​ ) 2 r 2 ( 25 − r 2 ) 25 r 2 − r 4 0 0 ​ Pembuat nolnya adalah atau . Karena panjang jari-jari tidak bernilai negatif, maka atau . Kedua nilai ini yang kemudian akan disubstitusi ke dalam persamaan (1), yaitu r 2 = 20 − k . Untuk didapat hasil sebagai berikut. 3 2 9 k ​ = = = ​ 20 − k 20 − k 11 ​ Untuk didapat hasil sebagai berikut. 4 2 16 k ​ = = = ​ 20 − k 20 − k − 4 ​ Berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia, diambil nilai k = − 4 sebagai jawabannya. Jadi, jawaban yang tepatadalah A.