Pertanyaan

Diberikan titik Qdan R pada lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 8 y + k = 0 dengan garis singgung lingkaran pada titik Qdan R berpotongan di titik S ( 7 , − 4 ) . Jika luas segi empat yang melalui Q, R, S, dan titik pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka salah satu nilai k yang memenuhi adalah ....

Diberikan titik Q dan R pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + k = 0$ dengan garis singgung lingkaran pada titik Q dan R berpotongan di titik $S (7, - 4)$ . Jika luas segi empat yang melalui Q, R, S, dan titik pusat lingkaran adalah 12 satuan luas, maka salah satu nilai $k$ yang memenuhi adalah ....

$- 4$
$4$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

Y. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepatadalah A.

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini! Misal titik P adalah pusat lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 8 y + k = 0 sehingga didapat koordinat titik P adalah sebagai berikut. P ( − 2 1 ( − 4 ) , − 2 1 ( 8 ) ) = P ( 2 , − 4 ) Kemudian, didapat panjang jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut. r r r r 2 = = = = 2 2 + ( − 4 ) 2 − k 4 + 16 − k 20 − k 20 − k ... ( 1 ) Diketahui koordinat P ( 2 , − 4 ) dan S ( 7 , − 4 ) sehingga panjang PS dapat dicari dengan cara sebagai berikut. PS = = = = ( 7 − 2 ) 2 + ( − 4 − ( − 4 )) 2 5 2 + 0 2 25 5 Dapat diperhatikan bahwa PQ = PR = r dan segitiga PQSmerupakan segitiga siku-siku karena garis QSbersinggungan dengan lingkaran. Dengan demikian, berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut. PQ 2 + QS 2 r 2 + QS 2 QS 2 QS = = = = PS 2 25 25 − r 2 ± 25 − r 2 Karena panjang QS tidak mungkin negatif, maka QS = 25 − r 2 satuan panjang. Dapat diperhatikan bahwa segiempat PQSR merupakan bangun layang-layang sehingga luas bangun PQSR sama dengan kali segitiga PQS. Oleh karena itu, diperoleh hasil berikut ini. L PQSR 12 12 12 1 2 2 144 144 r 4 − 25 r 2 + 144 ( r 2 − 9 ) ( r 2 − 16 ) = = = = = = = = = 2 L PQS 2 ⋅ 2 1 ⋅ PQ ⋅ QS PQ ⋅ QS r 25 − r 2 ( r 25 − r 2 ) 2 r 2 ( 25 − r 2 ) 25 r 2 − r 4 0 0 Pembuat nolnya adalah atau . Karena panjang jari-jari tidak bernilai negatif, maka atau . Kedua nilai ini yang kemudian akan disubstitusi ke dalam persamaan (1), yaitu r 2 = 20 − k . Untuk didapat hasil sebagai berikut. 3 2 9 k = = = 20 − k 20 − k 11 Untuk didapat hasil sebagai berikut. 4 2 16 k = = = 20 − k 20 − k − 4 Berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia, diambil nilai k = − 4 sebagai jawabannya. Jadi, jawaban yang tepatadalah A.

Perhatikan gambar berikut ini!

Misal titik P adalah pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + k = 0$ sehingga didapat koordinat titik P adalah sebagai berikut.

$P (- \frac{1}{2} (- 4), - \frac{1}{2} (8)) = P (2, - 4)$

Kemudian, didapat panjang jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut.

$r r r r^{2} = = = = 2^{2} + (- 4)^{2} - k 4 + 16 - k 20 - k 20 - k ... (1)$

Diketahui koordinat $P (2, - 4)$ dan $S (7, - 4)$ sehingga panjang $\overline{PS}$ dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

$\overline{PS} = = = = (7 - 2)^{2} + (- 4 - (- 4))^{2} 5^{2} + 0^{2} 255$

Dapat diperhatikan bahwa $PQ = PR = r$ dan segitiga PQS merupakan segitiga siku-siku karena garis QS bersinggungan dengan lingkaran. Dengan demikian, berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.

$PQ^{2} + QS^{2} r^{2} + QS^{2} QS^{2} QS = = = = PS^{2} 25 25 - r^{2} \pm 25 - r^{2}$

Karena panjang QS tidak mungkin negatif, maka $QS = 25 - r^{2}$ satuan panjang.

Dapat diperhatikan bahwa segiempat PQSR merupakan bangun layang-layang sehingga luas bangun PQSR sama dengan kali segitiga PQS. Oleh karena itu, diperoleh hasil berikut ini.

$L_{PQSR} 121212 1 2^{2} 144144 r^{4} - 25 r^{2} + 144 (r^{2} - 9) (r^{2} - 16) = = = = = = = = = 2 L_{PQS} 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot QS PQ \cdot QS r 25 - r^{2} (r 25 - r^{2})^{2} r^{2} (25 - r^{2}) 25 r^{2} - r^{4} 00$

Pembuat nolnya adalah atau . Karena panjang jari-jari tidak bernilai negatif, maka atau .

Kedua nilai ini yang kemudian akan disubstitusi ke dalam persamaan (1), yaitu $r^{2} = 20 - k$ .

Untuk didapat hasil sebagai berikut.

$3^{2} 9 k = = = 20 - k 20 - k 11$

Untuk didapat hasil sebagai berikut.

$4^{2} 16 k = = = 20 - k 20 - k - 4$

Berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia, diambil nilai $k = - 4$ sebagai jawabannya.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jika lingkaran x 2 + y 2 + 2 A x + B y = 0 dan x 2 + y 2 + A x + 2 B y = 0 berturut-turut berjari-jari 5 dan 10, maka jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y = 0 adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik A dan B pada lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + k = 0 dengan garis singgung lingkaran pada titik A dan B berpotongan di titik C ( 8 , 1 ) . Jika luas segi empat yang melalui A, B, C, da...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika lingkaran x 2 + y 2 − 2 a x + b = 0 berjari-jari 2 menyinggung garis x − y = 0 , maka jumlah kuadrat semua nilai a yang mungkin adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika lingkaran x 2 + y 2 − 2 a x + b = 0 berjari-jari 2 menyinggung garis x − y = 0 , maka jumlah kuadrat semua nilai a yang mungkin adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!