Pertanyaan

Diberikan lingkaran L dengan persamaan x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 dan titik P ( 5 , − 5 ) . a.Dimanakah posisi titik P terhadap lingkaran tersebut? b. Berapakah jarak terdekat titik P terhadap lingkaran itu? c. Berapakah jarak terjauh titik P terhadap lingkaran itu?

Diberikan lingkaran $L$ dengan persamaan $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 15 = 0$ dan titik $P (5, - 5)$ .

a. Dimanakah posisi titik $P$ terhadap lingkaran tersebut?

b. Berapakah jarak terdekat titik $P$ terhadap lingkaran itu?

c. Berapakah jarak terjauh titik $P$ terhadap lingkaran itu?

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jarak terjauhtitik P ( 5 , − 5 ) ke lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 adalah 5 3 satuan panjang.

jarak terjauh titik

P (5, - 5)

ke lingkaran

x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 15 = 0

adalah

53

satuan panjang.

Pembahasan

Ingat! Persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di titik ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan berjari-jari r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C . Berdasarkan konsep tersebut makalingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 berpusat di titik ( − 1 , 3 ) dan berjari-jari r = = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( 2 ) 2 + 4 1 ( − 6 ) 2 − ( − 15 ) 4 1 ⋅ 4 + 4 1 ⋅ 36 + 15 1 + 9 + 15 25 5 a.Posisi titik P terhadap lingkaran Untuk mengetahui posisi titik P ( 5 , − 5 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 yaitu dengan cara mensubstitusikan titik P ( 5 , − 5 ) ke lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 dan membandingkannya dengan 0 . P ( 5 , − 5 ) ⇒ ( 5 ) 2 + ( − 5 ) 2 + 2 ⋅ ( 5 ) − 6 ⋅ ( − 5 ) − 15 = 25 + 25 + 10 + 30 − 15 = 75 > 0 Artinya titik P ( 5 , − 5 ) berada di luar lingkaran. Perhatikan gambar di bawah ini. b. Jarak terdekat titik P terhadap lingkaran Berdasarkan gambar di atas, jarak terdekat = AC ditentukan oleh: AC = AM − r dengan AM adalah jarak titik P ( 5 , − 5 ) ke pusat lingkaran yaitu titik ( − 1 , 3 ) . AM = = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( ( − 1 ) − 5 ) 2 + ( 3 − ( − 5 ) ) 2 ( − 6 ) 2 + 8 2 36 + 64 100 10 Dengan demikian, jarak terdekat titik P ( 5 , − 5 ) ke lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 adalah AC = AM − r = 10 − 5 = 5 satuan panjang. c. Jarak terjauh titik P terhadap lingkaran Berdasarkan gambar di atas, jarak terjauh = AB ditentukan oleh: AB = = = = = AM 2 − r 2 1 0 2 − 5 2 100 − 25 75 5 3 . Dengan demikian, jarak terjauhtitik P ( 5 , − 5 ) ke lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 15 = 0 adalah 5 3 satuan panjang.

Ingat!

Persamaan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di titik $(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan berjari-jari $r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$ .

Berdasarkan konsep tersebut maka lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 15 = 0$ berpusat di titik $(- 1, 3)$ dan berjari-jari

$r = = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (2)^{2} + \frac{1}{4} (- 6)^{2} - (- 15) \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 36 + 15 1 + 9 + 15 255$

a. Posisi titik $P$ terhadap lingkaran

Untuk mengetahui posisi titik $P (5, - 5)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 15 = 0$ yaitu dengan cara mensubstitusikan titik $P (5, - 5)$ ke lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 15 = 0$ dan membandingkannya dengan $0$ .

$P (5, - 5) \Rightarrow (5)^{2} + (- 5)^{2} + 2 \cdot (5) - 6 \cdot (- 5) - 15 = 25 + 25 + 10 + 30 - 15 = 75 > 0$

Artinya titik $P (5, - 5)$ berada di luar lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini.

b. Jarak terdekat titik $P$ terhadap lingkaran

Berdasarkan gambar di atas, jarak terdekat $= AC$ ditentukan oleh:

$AC = AM - r$

dengan $AM$ adalah jarak titik $P (5, - 5)$ ke pusat lingkaran yaitu titik $(- 1, 3)$ .

$AM = = = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} ((- 1) - 5)^{2} + (3 - (- 5))^{2} (- 6)^{2} + 8^{2} 36 + 64 10010$

Dengan demikian, jarak terdekat titik $P (5, - 5)$ ke lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 15 = 0$ adalah $AC = AM - r = 10 - 5 = 5$ satuan panjang.