Pertanyaan

Buktikanlah setiap identitas berikut. cos 3 α − cos α sin 3 α − sin α = − cotan 2 α

Buktikanlah setiap identitas berikut.

$\frac{sin 3 α - sin α}{cos 3 α - cos α} = - cotan 2 α$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa cos 3 α − cos α sin 3 α − sin α = − cotan 2 α .

terbukti bahwa

\frac{sin 3 α - sin α}{cos 3 α - cos α} = - cotan 2 α

Pembahasan

Ingat rumus jumlah dan selisihtrigonometri berikut ini: sin A − sin B = 2 cos 2 1 ( A + B ) sin 2 1 ( A − B ) cos A − cos B = − 2 sin 2 1 ( A + B ) sin 2 1 ( A − B ) Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil: c o s 3 α − c o s α s i n 3 α − s i n α = = = = = − 2 s i n 2 1 ( 3 α + α ) s i n 2 1 ( 3 α − α ) 2 c o s 2 1 ( 3 α + α ) s i n 2 1 ( 3 α − α ) − s i n 2 1 ( 4 α ) s i n 2 1 ( 2 α ) c o s 2 1 ( 4 α ) s i n 2 1 ( 2 α ) − s i n 2 α s i n α c o s 2 α s i n α − s i n 2 α c o s 2 α − cotan 2 α Jadi, terbukti bahwa cos 3 α − cos α sin 3 α − sin α = − cotan 2 α .

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

$sin A - sin B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)$

$cos A - cos B = - 2 sin \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)$

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

$\frac{s i n 3 α - s i n α}{c o s 3 α - c o s α} = = = = = \frac{2 c o s \frac{1}{2} ( 3 α + α ) s i n \frac{1}{2} ( 3 α - α )}{- 2 s i n \frac{1}{2} ( 3 α + α ) s i n \frac{1}{2} ( 3 α - α )} - \frac{c o s \frac{1}{2} ( 4 α ) s i n \frac{1}{2} ( 2 α )}{s i n \frac{1}{2} ( 4 α ) s i n \frac{1}{2} ( 2 α )} - \frac{c o s 2 α s i n α}{s i n 2 α s i n α} - \frac{c o s 2 α}{s i n 2 α} - cotan 2 α$