Buktikanlah setiap identitas berikut. cos3α−cosαsin3α−sinα​=−cotan2α

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}\left(A+B\right)\sin \frac{1}{2}\left(A-B\right)$$

$$\sin A-\sin B=2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\sin \frac{1}{2}\left(A-B\right)$$

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\cos 20^{\circ }-\cos 70^{\circ }}{\sin 70^{\circ }-\sin 20^{\circ }}& =& \frac{-2\sin \frac{1}{2}\left(20^{\circ }+70^{\circ }\right)\sin \frac{1}{2}\left(20^{\circ }-70^{\circ }\right)}{2\cos \frac{1}{2}\left(70^{\circ }+20^{\circ }\right)\sin \frac{1}{2}\left(70^{\circ }-20^{\circ }\right)}\\ & =& \frac{-2\sin \frac{1}{2}\left(90^{\circ }\right)\sin \frac{1}{2}\left(-50^{\circ }\right)}{2\cos \frac{1}{2}\left(90^{\circ }\right)\sin \frac{1}{2}\left(50^{\circ }\right)}\\ & =& \frac{-2\sin 45^{\circ }\sin \left(-25^{\circ }\right)}{2\cos 45^{\circ }\sin 25^{\circ }}\\ & =& \frac{-2\sin 45^{\circ }\left(-\sin 25^{\circ }\right)}{2\cos 45^{\circ }\sin 25^{\circ }}\\ & =& \frac{2\sin 45^{\circ }\sin 25^{\circ }}{2\cos 45^{\circ }\sin 25^{\circ }}\\ & =& \frac{\sin 45^{\circ }}{\cos 45^{\circ }}\\ & =& \tan 45^{\circ }\\ & =& 1\end{array}$$

Jadi, $$\frac{\cos 20^{\circ }-\cos 70^{\circ }}{\sin 70^{\circ }-\sin 20^{\circ }}=1$$.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Ingat rumus identitas selisih cosinus dan sinus berikut:

•  
•   

Dari soal diketahui:

x = 3x 

y = 5x 

a = 3x 

b = x 

Sehingga persamaan trigonometri tersebut menjadi:

 

Ingat pula rumus trigonometri sudut ganda, dimana . Sehingga,  dapat diubah menjadi .

 

Dengan demikian,

terbukti bahwa .

Ingat!

 

Maka,

  

Jadi, .