Pertanyaan

Buktikan bahwa kedua lingkaran berikut. L 1 L 2 ≡ ≡ x 2 + y 2 + 2 a x + c = 0 dan x 2 + y 2 + 2 b y + c = 0 akan bersinggungan di luar apabila a 2 1 + b 2 1 = c 1

Buktikan bahwa kedua lingkaran berikut.

$L_{1} L_{2} \equiv \equiv x^{2} + y^{2} + 2 a x + c = 0 dan x^{2} + y^{2} + 2 b y + c = 0$

akan bersinggungan di luar apabila $\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{c}$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa lingkaran tersebut akan bersinggungan di luar bila a 2 1 + b 2 1 = c 1 .

terbukti bahwa lingkaran tersebut akan bersinggungan di luar bila

\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{c}

Pembahasan

Ingat bahwa persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 memiliki pusat ( − 2 A , − 2 B ) dan jari-jari ( − 2 A ) 2 + ( − 2 B ) 2 − C . Lingkaran satu didapat: P 1 ( − 2 2 a , − 2 0 ) = P 1 ( − a , 0 ) r 1 = ( − a ) 2 + 0 2 − c = a 2 − c Lingkaran dua didapat: P 2 ( − 2 0 , − 2 2 b ) = P 2 ( 0 , − b ) r 2 = 0 2 + ( − b ) 2 − c = b 2 − c Lingkaran bersinggungan di luar memiliki syarat: ∣ P 1 P 2 ∣ = ( r 1 + r 2 ) Diperoleh syarat ketiga variabel memenuhi: ( 0 − ( − a )) 2 + ( − b − 0 ) 2 a 2 + b 2 ( a 2 + b 2 ) 2 a 2 + b 2 0 0 c c c 2 a 2 c + b 2 c c ( a 2 + b 2 ) a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 a 2 + a 2 b 2 b 2 b 2 1 + a 2 1 a 2 1 + b 2 1 = = = = = = = = = = = = = = = a 2 − c + b 2 − c a 2 − c + b 2 − c ( a 2 − c + b 2 − c ) 2 ( a 2 − c ) + 2 a 2 − c b 2 − c + ( b 2 − c ) 2 a 2 − c b 2 − c − 2 c a 2 − c b 2 − c − c ( a 2 − c ) ( b 2 − c ) a 2 b 2 − a 2 c − b 2 c + c 2 a 2 b 2 − a 2 c − b 2 c + c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 1 c 1 c 1 c 1 Dengan demikian, terbukti bahwa lingkaran tersebut akan bersinggungan di luar bila a 2 1 + b 2 1 = c 1 .

Ingat bahwa persamaan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ memiliki pusat $(\frac{A}{- 2}, \frac{B}{- 2})$ dan jari-jari $(\frac{A}{- 2})^{2} + (\frac{B}{- 2})^{2} - C$ .

Lingkaran satu didapat:

$P_{1} (\frac{2 a}{- 2}, \frac{0}{- 2}) = P_{1} (- a, 0)$
$r_{1} = (- a)^{2} + 0^{2} - c = a^{2} - c$

Lingkaran dua didapat:

$P_{2} (\frac{0}{- 2}, \frac{2 b}{- 2}) = P_{2} (0, - b)$
$r_{2} = 0^{2} + (- b)^{2} - c = b^{2} - c$

Lingkaran bersinggungan di luar memiliki syarat:

$∣ P_{1} P_{2} ∣ = (r_{1} + r_{2})$

Diperoleh syarat ketiga variabel memenuhi:

$(0 - (- a))^{2} + (- b - 0)^{2} a^{2} + b^{2} (a^{2} + b^{2})^{2} a^{2} + b^{2} 00 c c c^{2} a^{2} c + b^{2} c c (a^{2} + b^{2}) \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} \frac{a ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} + \frac{b ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{a ^{2}} \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = = = = = = = = = = = = = = = a^{2} - c + b^{2} - c a^{2} - c + b^{2} - c (a^{2} - c + b^{2} - c)^{2} (a^{2} - c) + 2 a^{2} - c b^{2} - c + (b^{2} - c) 2 a^{2} - c b^{2} - c - 2 c a^{2} - c b^{2} - c - c (a^{2} - c) (b^{2} - c) a^{2} b^{2} - a^{2} c - b^{2} c + c^{2} a^{2} b^{2} - a^{2} c - b^{2} c + c^{2} a^{2} b^{2} a^{2} b^{2} \frac{1}{c} \frac{1}{c} \frac{1}{c} \frac{1}{c}$

Dengan demikian, terbukti bahwa lingkaran tersebut akan bersinggungan di luar bila $\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{c}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.2 (4 rating)

Pertanyaan serupa

Banyak garis singgung persekutuan dari lingkaran ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 dan ( x + 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4 adalah. . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Agar lingkaran ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = k 2 bersinggungan dengan lingkaran ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 maka nilai k sama dengan ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Banyak garis singgung persekutuan dari lingkaran ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 dan ( x + 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4 adalah. . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Agar lingkaran ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = k 2 bersinggungan dengan lingkaran ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 maka nilai k sama dengan ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua lingkaran yang tidak sepusat yaitu: lingkaran L 1 dengan jari-jari r 1 dan lingkaran L 2 dengan jari-jari r 2 . JIka L 1 L 2 = r 1 + r 1 maka ....

1.0

Jawaban terverifikasi