Pertanyaan

Buktikan bahwa: sin 3 θ sin θ + sin 6 θ sin 2 θ + sin 12 θ sin 4 θ + sin 24 θ sin 8 θ + sin 48 θ sin 16 θ + sin 96 θ sin 32 θ = sin 65 θ sin 63 θ

Buktikan bahwa:

$sin 3 θ sin θ + sin 6 θ sin 2 θ + sin 12 θ sin 4 θ + sin 24 θ sin 8 θ + sin 48 θ sin 16 θ + sin 96 θ sin 32 θ = sin 65 θ sin 63 θ$

S. Solehuzain

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Semarang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat rumus perkalian trigonometri 2 sin α sin β = cos ( α − β ) − cos ( α + β ) . Diperoleh perhitungan sebagai berikut sin 3 θ sin θ sin 6 θ sin 2 θ sin 12 θ sin 4 θ sin 24 θ sin 8 θ sin 48 θ sin 16 θ sin 96 θ sin 32 θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 1 ( 2 sin 3 θ sin θ ) 2 1 ( cos ( 3 θ − θ ) − cos ( 3 θ + θ ) ) 2 1 ( cos 2 θ − cos 4 θ ) 2 1 cos 2 θ − 2 1 cos 4 θ 2 1 ( 2 sin 6 θ sin 2 θ ) 2 1 ( cos ( 6 θ − 2 θ ) − cos ( 6 θ + 2 θ ) ) 2 1 ( cos 4 θ − cos 8 θ ) 2 1 cos 4 θ − 2 1 cos 8 θ 2 1 ( 2 sin 12 θ sin 4 θ ) 2 1 ( cos ( 12 θ − 4 θ ) − cos ( 12 θ + 4 θ ) ) 2 1 ( cos 8 θ − cos 16 θ ) 2 1 cos 8 θ − 2 1 cos 16 θ 2 1 ( 2 sin 24 θ sin 8 θ ) 2 1 ( cos ( 24 θ − 8 θ ) − cos ( 24 θ + 8 θ ) ) 2 1 ( cos 16 θ − cos 32 θ ) 2 1 cos 16 θ − 2 1 cos 32 θ 2 1 ( 2 sin 48 θ sin 16 θ ) 2 1 ( cos ( 48 θ − 16 θ ) − cos ( 48 θ + 16 θ ) ) 2 1 ( cos 32 θ − cos 64 θ ) 2 1 cos 32 θ − 2 1 cos 64 θ 2 1 ( 2 sin 96 θ sin 32 θ ) 2 1 ( cos ( 96 θ − 32 θ ) − cos ( 96 θ + 32 θ ) ) 2 1 ( cos 64 θ − cos 128 θ ) 2 1 cos 64 θ − 2 1 cos 128 θ Sehingga diperoleh sin 3 θ sin θ + sin 6 θ sin 2 θ + sin 12 θ sin 4 θ + sin 24 θ sin 8 θ + sin 48 θ sin 16 θ + sin 96 θ sin 32 θ = 2 1 cos 2 θ − 2 1 cos 4 θ + 2 1 cos 4 θ − 2 1 cos 8 θ + 2 1 cos 8 θ − 2 1 cos 16 θ + 2 1 cos 16 θ − 2 1 cos 32 θ + 2 1 cos 32 θ − 2 1 cos 64 θ + 2 1 cos 64 θ − 2 1 cos 128 θ = 2 1 cos 2 θ − 2 1 cos 128 θ = 2 1 ( cos 2 θ − cos 128 θ ) Ingat rumus jumlah dan selisihtrigonometri cos α − cos β = 2 sin 2 1 ( α + β ) sin 2 1 ( α − β ) . = = = = = = 2 1 ( cos 2 θ − cos 128 θ ) 2 1 ( − 2 sin 2 1 ( 2 θ + 1 28 θ ) sin 2 1 ( 2 θ − 1 28 θ ) ) 2 1 ( − 2 sin 2 1 ( 130 θ ) sin 2 1 ( − 1 26 θ ) ) 2 1 ( − 2 sin 65 θ sin ( − 63 θ ) ) − sin 65 θ sin ( − 63 θ ) − sin 65 θ − sin 63 θ sin 65 θ sin 63 θ Dengan demikian, terbukti bahwa sin 3 θ sin θ + sin 6 θ sin 2 θ + sin 12 θ sin 4 θ + sin 24 θ sin 8 θ + sin 48 θ sin 16 θ + sin 96 θ sin 32 θ = sin 65 θ sin 63 θ

Ingat rumus perkalian trigonometri
$2 sin α sin β = cos (α - β) - cos (α + β)$ .

Diperoleh perhitungan sebagai berikut

$sin 3 θ sin θ sin 6 θ sin 2 θ sin 12 θ sin 4 θ sin 24 θ sin 8 θ sin 48 θ sin 16 θ sin 96 θ sin 32 θ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \frac{1}{2} (2 sin 3 θ sin θ) \frac{1}{2} (cos (3 θ - θ) - cos (3 θ + θ)) \frac{1}{2} (cos 2 θ - cos 4 θ) \frac{1}{2} cos 2 θ - \frac{1}{2} cos 4 θ \frac{1}{2} (2 sin 6 θ sin 2 θ) \frac{1}{2} (cos (6 θ - 2 θ) - cos (6 θ + 2 θ)) \frac{1}{2} (cos 4 θ - cos 8 θ) \frac{1}{2} cos 4 θ - \frac{1}{2} cos 8 θ \frac{1}{2} (2 sin 12 θ sin 4 θ) \frac{1}{2} (cos (12 θ - 4 θ) - cos (12 θ + 4 θ)) \frac{1}{2} (cos 8 θ - cos 16 θ) \frac{1}{2} cos 8 θ - \frac{1}{2} cos 16 θ \frac{1}{2} (2 sin 24 θ sin 8 θ) \frac{1}{2} (cos (24 θ - 8 θ) - cos (24 θ + 8 θ)) \frac{1}{2} (cos 16 θ - cos 32 θ) \frac{1}{2} cos 16 θ - \frac{1}{2} cos 32 θ \frac{1}{2} (2 sin 48 θ sin 16 θ) \frac{1}{2} (cos (48 θ - 16 θ) - cos (48 θ + 16 θ)) \frac{1}{2} (cos 32 θ - cos 64 θ) \frac{1}{2} cos 32 θ - \frac{1}{2} cos 64 θ \frac{1}{2} (2 sin 96 θ sin 32 θ) \frac{1}{2} (cos (96 θ - 32 θ) - cos (96 θ + 32 θ)) \frac{1}{2} (cos 64 θ - cos 128 θ) \frac{1}{2} cos 64 θ - \frac{1}{2} cos 128 θ$

Sehingga diperoleh

$sin 3 θ sin θ + sin 6 θ sin 2 θ + sin 12 θ sin 4 θ + sin 24 θ sin 8 θ + sin 48 θ sin 16 θ + sin 96 θ sin 32 θ = \frac{1}{2} cos 2 θ - \frac{1}{2} cos 4 θ + \frac{1}{2} cos 4 θ - \frac{1}{2} cos 8 θ + \frac{1}{2} cos 8 θ - \frac{1}{2} cos 16 θ + \frac{1}{2} cos 16 θ - \frac{1}{2} cos 32 θ + \frac{1}{2} cos 32 θ - \frac{1}{2} cos 64 θ + \frac{1}{2} cos 64 θ - \frac{1}{2} cos 128 θ = \frac{1}{2} cos 2 θ - \frac{1}{2} cos 128 θ = \frac{1}{2} (cos 2 θ - cos 128 θ)$

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri
$cos α - cos β = 2 sin \frac{1}{2} (α + β) sin \frac{1}{2} (α - β)$ .

$= = = = = = \frac{1}{2} (cos 2 θ - cos 128 θ) \frac{1}{2} (- 2 sin \frac{1}{2} (2 θ + 128 θ) sin \frac{1}{2} (2 θ - 128 θ)) \frac{1}{2} (- 2 sin \frac{1}{2} (130 θ) sin \frac{1}{2} (- 126 θ)) \frac{1}{2} (- 2 sin 65 θ sin (- 63 θ)) - sin 65 θ sin (- 63 θ) - sin 65 θ - sin 63 θ sin 65 θ sin 63 θ$

Dengan demikian, terbukti bahwa $sin 3 θ sin θ + sin 6 θ sin 2 θ + sin 12 θ sin 4 θ + sin 24 θ sin 8 θ + sin 48 θ sin 16 θ + sin 96 θ sin 32 θ = sin 65 θ sin 63 θ$