Roboguru

Bentuklah jumlah atau selisih dari sinus atau kosinus, sederhanakan jika hal itu mungkin. 2sin40∘sin50∘

Pertanyaan

Bentuklah jumlah atau selisih dari sinus atau kosinus, sederhanakan jika hal itu mungkin.

2sin40sin50

Pembahasan Soal:

Ingat rumus perkalian trigonometri 2sinαsinβ=cos(αβ)cos(α+β).

Sehingga diperoleh 

2sin40sin50====cos(4050)cos(40+50)cos(10)cos(90)cos(10)0 ingat cos(a)=cos(a)cos10

Dengan demikian, bentuk 2sin40sin50 sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus menjadi cos10.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

E. Lestari

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Gunakan rumus  untuk membuktikan: .

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa:

  • cos space 2 a equals 1 minus 2 space sin squared a 
  • sin space a equals cos space left parenthesis 90 degree minus a right parenthesis 
  • sin space 2 a equals 2 space sin space a space cos space a 
  • 2 sin space alpha space sin space beta equals cos space left parenthesis alpha minus beta right parenthesis minus cos space left parenthesis alpha plus beta right parenthesis

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 54 degree space sin space 18 degree end cell equals cell 1 fourth end cell row cell cos space left parenthesis 90 degree minus 54 degree right parenthesis space sin space 18 degree end cell equals cell 1 fourth end cell row cell cos space 36 degree space sin space 18 degree end cell equals cell 1 fourth end cell end table 

Mencari sin space 18 degree:

Misalkan: theta equals 18 degree, maka:

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 theta end cell equals cell 90 degree end cell row cell 2 theta plus 3 theta end cell equals cell 90 degree end cell row cell 2 theta end cell equals cell 90 degree minus 3 theta end cell row cell sin 2 theta end cell equals cell sin left parenthesis 90 minus 3 theta right parenthesis equals cos 3 theta end cell row cell 2 sin theta cos theta end cell equals cell 4 cos cubed theta minus 3 cos theta end cell row cell 2 sin theta cos theta minus 4 cos cubed theta plus 3 cos theta end cell equals 0 row cell cos theta open parentheses 2 sin theta minus 4 cos squared theta plus 3 close parentheses end cell equals 0 row cell 2 sin theta minus 4 open parentheses 1 minus sin squared theta close parentheses plus 3 end cell equals 0 row cell sin theta end cell equals cell fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 2 squared minus 4 cross times 4 cross times left parenthesis negative 1 right parenthesis end root over denominator 2 cross times 4 end fraction end cell row cell sin theta end cell equals cell fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 20 over denominator 8 end fraction end cell row cell sin theta end cell equals cell fraction numerator square root of 5 minus 1 over denominator 4 end fraction end cell row cell sin space 18 degree end cell equals cell fraction numerator square root of 5 minus 1 over denominator 4 end fraction end cell end table 

Mencari cos space 36 degree:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space 36 degree end cell equals cell cos space open parentheses 2 times 18 degree close parentheses end cell row blank equals cell 1 minus 2 sin squared 18 degree end cell row blank equals cell 1 minus 2 open parentheses fraction numerator square root of 5 minus 1 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end cell row blank equals cell 1 minus open parentheses fraction numerator square root of 5 plus 1 minus 2 square root of 5 over denominator 8 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 5 plus 1 over denominator 4 end fraction end cell end table 

Sehingga didapat:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos open parentheses 36 degree close parentheses sin open parentheses 18 degree close parentheses end cell equals cell open parentheses fraction numerator square root of 5 plus 1 over denominator 4 end fraction close parentheses open parentheses fraction numerator square root of 5 minus 1 over denominator 4 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses square root of 5 plus 1 close parentheses open parentheses square root of 5 minus 1 close parentheses over denominator 4 times thin space 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 1 plus square root of 5 close parentheses open parentheses square root of 5 minus 1 close parentheses over denominator 16 end fraction end cell row blank equals cell 4 over 16 end cell row blank equals cell 1 fourth end cell end table 

Jadi, terbukti bahwa table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank sin end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 54 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank degree end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank sin end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 18 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank degree end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 fourth end cell end table.

0

Roboguru

Hitunglah tanpa menggunakan tabel trigonometri maupun kalkulator. sin6∘sin42∘sin66∘sin78∘

Pembahasan Soal:

Ingat rumus perkalian trigonometri
2sinαsinβ=cos(αβ)cos(α+β)

Sehingga diperoleh perhitungan 

sin42sin78sin6sin66=================21(2sin42sin78)21(cos(4278)cos(42+78))21(cos(36)cos(120))ingatcos(α)=cosα21(cos36(21))21(cos36+21) ingatcos36=45+121(45+1+21)21(45+1+42)2×45+385+321(2sin6sin66)21(cos(666)cos(6+66))21(cos(60)cos72)ingatcos(α)=cosα21(21cos72) ingatcos72=45121(21451)21(42451)2×435835

sehingga diperoleh 

sin6sin42sin66sin78======83+5×8358(3+5)×8(35)6432(5)26495644161

Dengan demikian, hasil dari sin6sin42sin66sin78 adalah 161

0

Roboguru

Sederhanakanlah. j.

Pembahasan Soal:

Ingat rumus perkalian sinus berikut :

negative 2 space sin space A space sin space B equals cos space open parentheses A plus B close parentheses space minus space cos space open parentheses A minus B close parentheses

Berdasarkan rumus tersebut, maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 40 degree times sin space 20 degree end cell equals cell negative 1 half open square brackets cos space open parentheses 40 degree plus 20 degree close parentheses minus cos space open parentheses 40 degree minus 20 degree close parentheses close square brackets end cell row blank equals cell negative 1 half open square brackets cos space open parentheses 60 degree close parentheses minus cos space 20 degree close square brackets end cell row blank equals cell negative 1 half open square brackets 1 half minus cos space 20 degree close square brackets end cell row blank equals cell negative 1 fourth plus 1 half cos space 20 degree end cell end table

Jadi, bentuk sederhananya adalah table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 fourth end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank plus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 half end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cos end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 20 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank degree end table.

0

Roboguru

Buktikan bahwa: sin3θsinθ+sin6θsin2θ+sin12θsin4θ+sin24θsin8θ+sin48θsin16θ+sin96θsin32θ=sin65θsin63θ

Pembahasan Soal:

Ingat rumus perkalian trigonometri 
2sinαsinβ=cos(αβ)cos(α+β).

Diperoleh perhitungan sebagai  berikut

sin3θsinθsin6θsin2θsin12θsin4θsin24θsin8θsin48θsin16θsin96θsin32θ========================21(2sin3θsinθ)21(cos(3θθ)cos(3θ+θ))21(cos2θcos4θ)21cos2θ21cos4θ21(2sin6θsin2θ)21(cos(6θ2θ)cos(6θ+2θ))21(cos4θcos8θ)21cos4θ21cos8θ21(2sin12θsin4θ)21(cos(12θ4θ)cos(12θ+4θ))21(cos8θcos16θ)21cos8θ21cos16θ21(2sin24θsin8θ)21(cos(24θ8θ)cos(24θ+8θ))21(cos16θcos32θ)21cos16θ21cos32θ21(2sin48θsin16θ)21(cos(48θ16θ)cos(48θ+16θ))21(cos32θcos64θ)21cos32θ21cos64θ21(2sin96θsin32θ)21(cos(96θ32θ)cos(96θ+32θ))21(cos64θcos128θ)21cos64θ21cos128θ

Sehingga diperoleh

sin3θsinθ+sin6θsin2θ+sin12θsin4θ+sin24θsin8θ+sin48θsin16θ+sin96θsin32θ=21cos2θ21cos4θ+21cos4θ21cos8θ+21cos8θ21cos16θ+21cos16θ21cos32θ+21cos32θ21cos64θ+21cos64θ21cos128θ=21cos2θ21cos128θ=21(cos2θcos128θ)

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri 
cosαcosβ=2sin21(α+β)sin21(αβ).

======21(cos2θcos128θ)21(2sin21(2θ+128θ)sin21(2θ128θ))21(2sin21(130θ)sin21(126θ))21(2sin65θsin(63θ))sin65θsin(63θ)sin65θsin63θsin65θsin63θ

Dengan demikian, terbukti bahwa sin3θsinθ+sin6θsin2θ+sin12θsin4θ+sin24θsin8θ+sin48θsin16θ+sin96θsin32θ=sin65θsin63θ

0

Roboguru

Hitunglah tanpa menggunakan tabel trigonometri maupun kalkulator. tan20∘tan40∘tan80∘

Pembahasan Soal:

Ingat tan(α)=cos(α)sin(α)

Sehingga diperoleh

 tan20tan40tan80=cos20cos40cos80sin20sin40sin80

  • Mencari nilai sin20sin40sin80

Ingat rumus perkalian trigonometri 
2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ).

Sehingga diperoleh 

======sin20sin40sin80sin20.21(2sin80sin40)sin20.21(cos(8040)cos(80+40))sin20.21(cos(40)cos(120))sin20.21(cos(40)(21))sin20.21(cos(40)+21)21sin20cos(40)+41

ingat 2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)

21sin20cos(40)+41sin20=41(2sin20cos40)+41sin20=41(sin(20+40)+sin(2060))+41sin20=41(sin(60)+sin(20))+41sin20ingatsin(a)=sin(a)=41(213sin(20))+41sin20=81341sin(20)+41sin20=813

  • Mencari nilai cos20cos40cos80

Ingat rumus sudut rangkap trigonometri sin(2α)=2sin(a)cos(a).

Sehingga diperoleh 

=========(cos20cos40cos80)×2sin202sin202sin201(2sin20cos20)cos40cos802sin201sin40cos40cos802.2sin2012.sin40cos40cos804sin201sin80cos802.4sin2012.sin80cos808sin201sin1608sin201sin(18020)8sin201sin2081

Dari 2 perhitungan di atas kita dapatkan

tan20tan40tan80===cos20cos40cos80sin20sin40sin80818133 

Dengan demikian, hasil dari tan20tan40tan80 adalah 3.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved