Pertanyaan

Balok ABCD.EFGH dengan AB=4cm , BC=10cm ,dan CG=6cm serta P titik tengah AB .Tentukan nilai sinus sudut antara EP dan PG !

Balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB = 4 cm$ , $BC = 10 cm$ , dan $CG = 6 cm$ serta $P$ titik tengah $AB$ . Tentukan nilai sinus sudut antara $EP$ dan $PG$ !

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilaisinus sudut antara dan adalah .

nilai sinus sudut antara

dan

adalah

Pembahasan

Perhatikan perhitungan berikut ini. Ingat, aturan cosinus,teorema Pythagoras dan fungsi identitas trigonometri: Diketahui sebuah balok dengan , ,dan serta titik tengah maka balok tersebut dapat dibentuk sebagai berikut ini: Untuk mencari sudut sinus yang terbentuk oleh garis dan terlebih dahulu dicari nilasi cosinus sudutnya, dicari dengan menggunakan aturan cosinus, maka: Panjang : Perhatikan, dengan menggunakan teorema Pythagoras maka: PG = PC 2 + CG 2 terlebih dahulu dicari panjang , yaitu: PC = = = = PB 2 + BC 2 2 2 + 1 0 2 4 + 100 104 Sehingga: PG = = = = PC 2 + CG 2 ( 104 ) 2 + 6 2 104 + 36 140 Panjang : EP = = = = EA 2 + AP 2 6 2 + 2 2 36 + 4 40 Panjang : EG = = = = EH 2 + GH 2 1 0 2 + 4 2 100 + 16 116 Sehingga: cos P = = = = = = = 2 ⋅ EP ⋅ PG EP 2 + PG 2 − EG 2 2 ( 40 ) ( 140 ) ( 40 ) 2 + ( 140 ) 2 − ( 116 ) 2 2 40 ⋅ 140 40 + 140 − 116 2 5600 64 400 ⋅ 14 32 20 14 32 5 14 8 Didapatkan nilai adalah , maka nilai yaitu: sin 2 P + cos 2 P sin 2 P sin P = = = = = = = = = 1 1 − cos 2 P 1 − ( 5 14 8 ) 2 1 − 350 64 350 350 − 64 350 286 ± 350 286 ± 0 , 904 0 , 904 Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 18 0 ∘ , maka kemungkinan sudut P adalah sudut lancip (kuadran I) atau sudut tumpul (kuadran II). Dan nilai sinus di kuadran I dan II bernilai positif. Jadi, nilaisinus sudut antara dan adalah .

Perhatikan perhitungan berikut ini.

Ingat, aturan cosinus, teorema Pythagoras dan fungsi identitas trigonometri:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a squared end cell equals cell b squared plus c squared minus 2 times b times c times text Cos A end text end cell row cell c squared end cell equals cell a squared plus b squared end cell row 1 equals cell sin squared alpha plus cos squared alpha end cell end table end style

Diketahui sebuah balok dengan , , dan serta titik tengah maka balok tersebut dapat dibentuk sebagai berikut ini:

Untuk mencari sudut sinus yang terbentuk oleh garis dan terlebih dahulu dicari nilasi cosinus sudutnya, dicari dengan menggunakan aturan cosinus, maka:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text EG end text squared end cell equals cell text EP end text squared plus text PG end text squared minus 2 times text EP end text times text PG end text times cos text P end text end cell row cell 2 times text EP end text times text PG end text times cos text P end text end cell equals cell text EP end text squared plus text PG end text squared minus text EG end text squared end cell row cell cos text P end text end cell equals cell fraction numerator text EP end text squared plus text PG end text squared minus text EG end text squared over denominator 2 times text EP end text times text PG end text end fraction end cell end table end style$

Panjang :

Perhatikan, dengan menggunakan teorema Pythagoras maka:

$PG = PC^{2} + CG^{2}$

terlebih dahulu dicari panjang , yaitu:

$PC = = = = PB^{2} + BC^{2} 2^{2} + 1 0^{2} 4 + 100 104$

Sehingga:

$PG = = = = PC^{2} + CG^{2} (104)^{2} + 6^{2} 104 + 36 140$

Panjang :

$EP = = = = EA^{2} + AP^{2} 6^{2} + 2^{2} 36 + 4 40$

Panjang :

$EG = = = = EH^{2} + GH^{2} 1 0^{2} + 4^{2} 100 + 16 116$

Sehingga:

$cos P = = = = = = = \frac{EP ^{2} + PG ^{2} - EG ^{2}}{2 \cdot EP \cdot PG} \frac{( 40 ) ^{2} + ( 140 ) ^{2} - ( 116 ) ^{2}}{2 ( 40 ) ( 140 )} \frac{40 + 140 - 116}{2 40 \cdot 140} \frac{64}{2 5600} \frac{32}{400 \cdot 14} \frac{32}{20 14} \frac{8}{5 14}$

Didapatkan nilai adalah $begin mathsize 14px style fraction numerator 32 over denominator square root of 5600 end fraction end style$ , maka nilai yaitu:

$sin^{2} P + cos^{2} P sin^{2} P sin P = = = = = = = = = 1 1 - cos^{2} P 1 - (\frac{8}{5 14})^{2} 1 - \frac{64}{350} \frac{350 - 64}{350} \frac{286}{350} \pm \frac{286}{350} \pm 0, 904 0, 904$

Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah $18 0^{\circ}$ , maka kemungkinan sudut P adalah sudut lancip (kuadran I) atau sudut tumpul (kuadran II). Dan nilai sinus di kuadran I dan II bernilai positif.

Jadi, nilai sinus sudut antara dan adalah .