Roboguru

cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB=…

Pertanyaan

cos space open parentheses A plus B close parentheses space cos space B plus sin space open parentheses A plus B close parentheses space sin space B equals horizontal ellipsis 

  1. cos space A 

  2. sin space B 

  3. cos space B 

  4. sin space B 

  5. tan space A 

Pembahasan Soal:

Ingat kembali bahwa:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space open parentheses A plus B close parentheses end cell equals cell cos space A times cos space B minus sin space A times sin space B end cell row cell sin space open parentheses A plus B close parentheses end cell equals cell sin space A times cos space B plus cos space A times sin space B end cell row 1 equals cell sin squared space A plus cos squared space A end cell end table 

Misalkan: cos space open parentheses A plus B close parentheses space cos space B plus sin space open parentheses A plus B close parentheses space sin space B equals x plus y, maka persamaan x dan y adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell cos space open parentheses A plus B close parentheses space cos space B space rightwards arrow text pers. 1 end text end cell row blank blank blank row y equals cell sin space open parentheses A plus B close parentheses space sin space B space rightwards arrow text pers. 2 end text end cell end table

Dengan menggunakan mensubstitusikan rumus di atas ke persamaan 1, maka diperoleh:

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell cos space open parentheses A plus B close parentheses space cos space B end cell row blank equals cell open parentheses cos space A times cos space B minus sin space A times sin space B close parentheses space cos space B end cell row x equals cell cos space A times cos squared space B minus sin space A times sin space B times cos space B space rightwards arrow text pers. 3 end text end cell end table

Kemudian, substitusikan rumus di atas ke persamaan 2, maka diperoleh: 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell sin space open parentheses A plus B close parentheses space sin space B end cell row blank equals cell open parentheses sin space A times cos space B plus cos space A times sin space B close parentheses times sin space B end cell row y equals cell sin space A times sin space B times cos space B plus cos space A times sin squared space B space rightwards arrow text pers, 4 end text end cell end table

Selanjutnya, jumlahkan persamaan 3 dan persamaan 4 open parentheses x plus y close parentheses sebagai berikut:

stack attributes charalign center stackalign right end attributes table row cell x equals end cell cell cos space A times cos squared space B end cell minus cell sin space A times sin space B times cos space B end cell end table table row cell y equals end cell cell sin space A times sin space B times cos space B end cell plus cell cos space A times sin squared space B end cell end table horizontal line table row cell x plus y equals end cell cell cos space A times cos squared space B end cell plus cell cos space A times sin squared space B end cell end table end stack plus space rightwards arrow text pers. 5 end text

Sehingga, dengan menggunakan persamaan 5 diperoleh:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals cell equals cos space A. cos squared space B plus cos space A space sin squared space B end cell row blank equals cell cos space A open parentheses cos squared space B plus sin squared space B close parentheses end cell row blank equals cell cos space A times 1 end cell row cell x plus y end cell equals cell cos space A end cell end table

Jadi, nilai dari cos space open parentheses A plus B close parentheses space cos space B plus sin space open parentheses A plus B close parentheses space sin space B adalah cos space A. 

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

L. Sibuea

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

4. Buktikan bahwa: sin3θ⋅sin3θ+cos3θ⋅cos3θ=cos32θ

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

  • rumus sinus untuk penjumlahan dua sudut: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  • rumus cosinus untuk penjumlahan dua sudut: cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
  • rumus sinus untuk sudut ganda: sin2α=2sinαcosα
  • rumus cosinus untuk sudut ganda: cos2α=cos2αsin2α
  • identitas trigonometri: sin2α+cos2α=1cos2α=1sin2α, dan sin2α=1cos2α
  • rumus pemfaktoran pangkat tiga: a2b2=(ab)(a+b) dan a3b3=(ab)(a2+b2+ab)

Oleh karena itu, dapat diperoleh rumus berikut:

sin3αsin3α=========sin(2α+α)sin2αcosα+cos2αsinα(2sinαcosα)cosα+(cos2αsin2α)sinα2sinαcos2α+sinαcos2αsin3α3sinαcos2αsin3α3sinα(1sin2α)sin3α3sinα13sinαsin2αsin3α3sinα3sin3αsin3α3sinα4sin3α

dan

cos3αcos3α==========cos(2α+α)cos2αcosαsin2αsinα(2cos2α1)cosα(2sinαcosα)sinα2cos3αcosα2sin2αcosα2cos3αcosα2(1cos2α)cosα2cos3αcosα2(1cos2α)cosα2cos3αcosα21cosα+2cos2αcosα2cos3αcosα2cosα+2cos3α2cos3α+2cos3αcosα2cosα4cos3α3cosα 

sehingga

 ===============sin3θsin3θ+cos3θcos3θ(3sinθ4sin3θ)sin3θ+(4cos3θ3cosθ)cos3θ3sin4θ4sin6θ+4cos6θ3cos4θ4cos6θ4sin6θ3cos4θ+3sin4θ4(cos6θsin6θ)3(cos4θsin4θ)4((cos2θ)3(sin2θ)3)3((cos2θ)2(sin2θ)2)4(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)4(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)14(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)24(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(4cos4θ+4sin4θ+4cos2θsin2θ)+(cos2θsin2θ)(3cos4θ3sin4θ6cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ2cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)2(cos2θsin2θ)3(cos2θ)3cos32θ

Dengan demikian, terbukti bahwa sin3θsin3θ+cos3θcos3θ=cos32θ. 

0

Roboguru

Buktikan bahwa: (cosAcosB−sinAsinB)2+(cosAsinB+sinAcosB)2=1

Pembahasan Soal:

Akan dibuktikan (cosAcosBsinAsinB)2+(cosAsinB+sinAcosB)2=1

Ingat bahwa

cos(A+B)=cosAcosBsinAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin2A+cos2A=1  

Maka

(cosAcosBsinAsinB)2+(cosAsinB+sinAcosB)2=(cos(A+B))2+(sin(A+B))2=cos2(A+B)+sin2(A+B)=1   

Dengan demikian, terbukti bahwa (cosAcosBsinAsinB)2+(cosAsinB+sinAcosB)2=1

0

Roboguru

cos6A−2cos4A−cos2A+2=...

Pembahasan Soal:

Ingat:

  • identitas sudut ganda: sin2x=2sinxcosx.
  • identitas Pythagoras: cos2x+sin2x=1.
  •  bentuk aljabar: a2b2=(ab)(a+b).

Sehingga untuk memudahkan mencari bentuk sederhana dari cos6A2cos4Acos2A+2. Kita akan mencari satu persatu

========cos6Acos23Asin23Acos2(2A+A)sin2(2A+A)(cos2AcosAsin2AsinA)2(sin2AcosA+cos2AsinA)2((12sin2A)cosA2sin2AcosA)2(2sinAcos2A+(12sin2A)sinA)2(14sin2Acos2A)2sinA×[2(12sin2A)+(12sin2A)]2=(14sin2Acos2A)2sin2A×(34sin2A)2(18sin2A+16sin4A)(12sin2A)sin2A(924sin2A+16sin4A)(18sin2A+16sin4A)(sin2A8sin4A+16sin6A)(9sin2A24sin4A+16sin6A)32sin6A+48sin4A18sin2A+1

Selanjutnya:

=======cos4Acos22Asin22A(12sin2A)2(2sinAcosA)214sin2A+4sin4A4sin2Acos2A14sin2A+4sin4A4sin2A(1sin2A)14sin2A+4sin4A4sin2A+4sin2A8sin4A8sin2A+1maka2cos4A16sin4A+16sin2A2

Selanjutnya:

cos2A==(12sin2A)2sin2A1

Sehingga akan diperoleh:

=====cos6A2cos4Acos2A+232sin6A+48sin4A18sin2A+116sin4A+16sin2A2+2sin2A1+232sin6A+32sin4A32sin4A(1sin2A)32sin4Acos2A32cos2Asin4A

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

 

0

Roboguru

Misalkan, sudut pada segitiga ABC adalah A, B, dan C. Jika sinB+sinC=2sinA, maka nilai dari tan2B​⋅tan2C​ adalah ....

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

sin space open parentheses 180 minus a close parentheses equals sin space a

sin space a plus sin space b equals 2 space sin space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses  

cos space open parentheses a plus b close parentheses equals cos space a space cos space b minus sin space a space sin space b 

cos space open parentheses a minus b close parentheses equals cos space a space cos space b plus sin space a space sin space b

sin space a plus b equals 2 space sin space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses

tan space a equals fraction numerator sin space a over denominator cos space a end fraction

jumlah semua sudut pada segitiga adalah 180 degree, sehingga:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell A plus B plus C end cell equals cell 180 degree end cell row A equals cell 180 minus open parentheses A plus B close parentheses end cell end table 

Sehingga diperoleh perhitungan:

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space B plus sin space C end cell equals cell 2 space sin space A end cell row cell sin space B plus sin space C end cell equals cell 2 space sin space open parentheses 180 minus open parentheses B plus C close parentheses close parentheses end cell row cell sin space B plus sin space C end cell equals cell 2 space sin space open parentheses B plus C close parentheses end cell row cell 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator B minus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses times cos space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses close parentheses end cell row cell up diagonal strike 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses times end strike cos space open parentheses fraction numerator B minus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell 2 times up diagonal strike 2 space sin space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses end strike times cos space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row cell cos space open parentheses fraction numerator B minus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell 2 cos space open parentheses fraction numerator B plus C over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row cell cos space 1 half B times cos space 1 half C plus sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell equals cell 2 open parentheses cos space 1 half B times cos space 1 half C minus sin space 1 half B times sin space 1 half C close parentheses end cell row cell cos space 1 half B times cos space 1 half C plus sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell equals cell 2 cos space 1 half B times cos space 1 half C minus 2 sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell row cell 3 sin space 1 half B times sin space 1 half C end cell equals cell cos space 1 half B times cos space 1 half C end cell row cell fraction numerator sin space 1 half B times sin space 1 half C over denominator cos space 1 half B times cos space 1 half C end fraction end cell equals cell 1 third end cell row cell tan space 1 half B space tan space 1 half C end cell equals cell 1 third end cell end table end style

Dengan demikian, tan space B over 2 times tan space C over 2 adalah 1 third

Jadi, jawaban yang tepat adalah A

0

Roboguru

6cos105∘sin75∘=....

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dua sudut untuk fungsi sinus dan cosinus berikut.

sin(A+B)cos(A+B)==sinAcosB+sinBcosAcosAcosBsinAsinB 

sehingga dapat ditentukan nilai dari: 

cos105sin756cos105sin75=============cos(60+45)cos60cos45sin60sin4521212213212412416sin(30+45)sin30cos45+sin45cos3021212+212213412+4166(412416)(412+416)64141(26)(2+6)166(26)83(4)23  

Dengan demikian, diperoleh 6cos105sin75=23.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved