Perhatian!
Persamaan pada soal diralat menjadi: m tan (θ−30∘)=n tan (θ+120∘)
Ingat!
- tan (90∘+α)=−cot α
- cot α=tan α1
- cos (α+β)=cos α⋅cos β−sin α⋅sin β
- cos (α−β)=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β
- 1=aa, dengan a=0
- cos (−60∘)=21
Oleh karena itu, dapat diperoleh:
m tan (θ−30∘)m tan (θ−30∘)m tan (θ−30∘)m tan (θ−30∘)m tan (θ−30∘)tan (θ−30∘)⋅tan (θ+30∘)cos (θ−30∘)sin (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)sin (θ+30∘)cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)sin (θ−30∘)⋅sin (θ+30∘)========n tan (θ+120∘)n tan (90∘+(θ+30∘))n(−cot(θ+30∘))n(tan (θ+30∘)−1)tan (θ+30∘)−nm−nm−nm−n
Misalkan A=θ−30∘ dan B=θ+30∘, maka dapat diperoleh:
cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)=m−n (1)
dan saat kedua ruas pada (1) dikurang dengan 1, diperoleh:
cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)−1cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)−cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)−cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)−cos (A)⋅cos (B)+sin (A)⋅sin (B)cos (A)⋅cos (B)−(cos (A)⋅cos (B)−sin (A)⋅sin (B))cos (A)⋅cos (B)cos (A+B)cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos (θ−30∘+θ+30∘)cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos (2θ)========m−n−1m−n−mmm−n−mm−m−nm−(m+n)mm+nkarena A=θ−30∘B=θ+30∘ makamm+nmm+n (2)
dan saat kedua ruas pada (1) ditambah dengan 1, diperoleh:
cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)+1cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)+cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)sin (A)⋅sin (B)+cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)cos (A)⋅cos (B)+sin (A)⋅sin (B)cos (A)⋅cos (B)cos (A−B)cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos (θ−30∘−(θ+30∘))cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos (θ−30∘−θ−30∘)cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos (−60∘)========m−n+1m−n+mmm−n+mmm−nmm−nkarena A=θ−30∘B=θ+30∘ makamm−nmm−nmm−n (3)
Dengan membagi (2) dengan (3), diperoleh
cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos (−60∘)cos (θ−30∘)⋅cos (θ+30∘)cos 2θcos (−60∘)cos 2θcos 2θ===mm−nmm+nm−nm+ncos (−60∘)⋅m−nm+n
dan karena cos (−60∘)=21, maka
cos 2θcos 2θ==21⋅m−nm+n2(m−n)m+n
Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa cos 2θ=2(m−n)m+n.