4. Perhatikan gambar berikut. Jika θ berada pada interval terbuka ( 0 ∘ , 9 0 ∘ ) tentukan: c. batasan nilai θ saat A terletak di antara O dan B .

Pembahasan

Ingat! jumlah sudut dalam segitiga adalah ∠ α + ∠ β + ∠ γ = 18 0 ∘ pada segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: diperoleh hubungan sin α = c a ​ dan cos α = c b ​ . tan α = cos α sin α ​ jika tan α = y , maka α = tan − 1 y Oleh karena itu, untuk mencari batasan nilai θ saat A terletak di antara O dan B pada gambar di soal dapat dilakukan seperti berikut: Perhatikan △ O A Q . Panjang sisi maksimal O A adalah saat O A = OB . Saat O A maksimal, maka nilai θ merupakan nilai terkecil. Untuk mencari nilai terkecil θ saat O A = OB , dapat dilakukan dengan langkah berikut: Perhatikan △ O A Q . Dapatdiperoleh cos θ ​ = ​ 5 O A ​ ​ . Perhatikan △ OBQ . Dapat diperoleh sin θ ​ = ​ 12 OB ​ ​ . Oleh karena tan α = cos α sin α ​ , maka dapat diperoleh tan θ tan θ θ ​ = = = = = = = = ​ c o s θ s i n θ ​ 5 O A ​ 12 OB ​ ​ 12 OB ​ × O A 5 ​ karenaOB=OA 12 O A ​ × O A 5 ​ 12 O A ​ × O A 5 ​ 12 5 ​ tan − 1 ( 12 5 ​ ) 22 , 6 ∘ ​ sehingga diperoleh nilaiterkecil θ adalah 22 , 6 ∘ . Kemudian, perhatikan kembali △ O A Q dan △ OBQ , ∠ A OQ = θ akan memberikan nilai θ terbesarsaat ∠ A OQ = ∠ BOP .Untuk mencari nilai terbesar θ , dapat dilakukan dengan langkah berikut: Oleh karena jumlah sudut dalamsegitiga adalah 18 0 ∘ , maka pada △ OBP , diperoleh ∠ BOP + ∠ OPB + ∠ PBO ∠ BOP + θ + 9 0 ∘ ∠ BOP + θ ∠ BOP + θ ∠ BOP ​ = = = = = ​ 18 0 ∘ 18 0 ∘ 18 0 ∘ − 9 0 ∘ 9 0 ∘ 9 0 ∘ − θ ​ Oleh karena nilai terkecil θ = 22 , 6 ∘ , maka ∠ BOP ​ = = = ​ 9 0 ∘ − θ 9 0 ∘ − 22 , 6 ∘ 67 , 4 ∘ ​ sehingga diperolehnilaiterbesar θ saat ∠ A OQ = ∠ BOP adalah 67 , 4 ∘ . Oleh karena nilaiterkecil θ adalah 22 , 6 ∘ dannilaiterbesar θ adalah 67 , 4 ∘ , makanilai θ dapat berada di antara kedua nilai tersebut, yaitu 22 , 6 ∘ ≤ θ ≤ 67 , 4 ∘ . Dengan demikian,diperolehbatasan nilai θ saat A terletak di antara O dan B adalah 22 , 6 ∘ ≤ θ ≤ 67 , 4 ∘ .